一类κ-次增生型变分包含解的存在性与Noor迭代逼近-论文.pdf

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1、第43卷第7期数学的实践与认识V01．43．No．72013年4月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORY^，’'，J，’l’，，研究～⋯⋯。。。l一类一次增生型变分包含解的存在性与Noor迭代逼近张树义，郭新琪z，宋晓光(1．渤海大学数理学院，辽宁锦州1210131(2．大连市第三十七中学，辽宁大连116011)摘要：在实自反Banach空间中，引入并研究一类一次增生型变分包含问题，证明了这类变分包含解的存在性、唯一性以及带混合误差的Noor三步迭代序列的收敛性，给出了收敛率的估计式，从而本质改进，统一和发

2、展了谷峰教授的新近的结果．关键词：一次增生映象；变分包含；Noor三步迭代序列；收敛率估计；混合误差1引言与预备知识设是实Banach空间，为x的对偶空间，(-，·)表示x与x之间的广义对偶对．正规对偶映象：一2的对偶映象定义为J(z)：{f∈X：(z，，)=忙II=lI，II。}。D()表示映象T的定义域．设，A，B：X—x，Ⅳ(．，．，．)：X×X×X—，卵：x×一x和g：X—是六个映象，(·，·)：x×X—Ru{+。。)是使得对每一固定Y∈X，(．，Y)是真凸的下半连续泛函．我们考虑下列Banach空间中的变分包含问题，对

3、给定的，∈，求．u∈X，使得Jg(札)∈D(岛(·，Ⅱ))，，I(N(Tu，Au，Bu)～f，叩(u，9()))(g(“)，“)一("，"it)，Vv∈X、⋯其中(·，“)表示(-，，“)的叩一次微分．易见，当是Hilbert空间，N(，Y，。)=X—Y，(2gl，Y)=(X1)，叩(1，Y1)=1～1，Vx，Y，∈X，1，yl∈X时，问题(1．1)变为文[1-2]所研究的变分包含问题．当是Banach空间，N(，Y，z)=X—Y，(X1，Y)=(X1)，rl(x~，y1)=Xl—Yl，V，Y，∈，VXl，Yl∈时，问题(1．1

4、)变为文[3]研究的变分包含问题．当N(X，Y，z)=N(，Y)，(Xl，Y)=(X1)，，Y，∈X，1∈时，问题(1．1)变为文[4～51研究的变分包含问题．本文的目的是在实自反Banach空间的框架下，研究Lipschitz次增生型变分包含问题(1．1)解的存在性、唯一性及其具有混合误差的Noor三步迭代序列收敛性问题，给出了收敛率的估计式，从而在很大程度上推广和改进了文[1-5]以及一些已知的结果．下面回忆一些预备知识定义1．1【6】设x是一实Banach空间，：x一Ru{+。。)为一真凸泛函，_rJ：X×x—x是一个映象

5、，若对zo∈X，存在，∈x，使得(Y)一(Xo)(，，叩(Y，xo))，Vy∈X，则称在z0处是卵一次可微的，并称_，为在Xo处的叩．次梯度，在Xo处的一切叩一次梯度的集合用(0)表示并称之为在XO处的叩一次微分．收稿日期：201009．147期张树义，等：一类七一次增生型变分包含解的存在性与Noor迭代逼近171定义1．2【】映象T：．D()cX—称为是一次增生的，如果对任给的37，∈D(T)，存在j(x一)∈J(x一)和常数七∈(一∞，+∞)，使得(Tz—Ty，J(一))lIx一训．显然一次增生映象分别是增生和强增生的．但反

6、之有例子I]表明增生和强增生映象未必是一次增生的．熟知T是增生的当且仅当V，∈D()及r>0，有lI一Illl一+r(Tz—Ty)l_(1．2)引理1．114-5]设是实Banach空间，T：—是连续的七．次增生算子，如果>一1，则对任给的．厂∈，方程37+Tz=，在中有唯一解．引理1．2设是实自反Banach空间，则下面的结论等价i)∈是变分包含问题(1．1)的解．ii)∈是映象S：一2的不动点，其中S()=，一(N(Tz，Az，Bz)+(9()，))+，∈．iii)∈是方程．厂∈Ⅳ(，Az，Bz)+(g()，)的解．证明设i

7、)iii)．If是变分包含问题(1．1)的解，则g()∈D((-，))且(N(Tx，Az，Bz)一，，叩(u，9()))(g()，)一(，)，Vv∈于是，由(·，)的次微分定义，以及上式可知t厂一N(Tx，Az，Bz)∈岛(g()，)，即∈是方程，∈N(Tz，Az，Bz)+(g()，)的解．iii)~ix)．设iii)真，则有∈，一(N(Tz，Az，Bcc)+岛(g()，))+=Sz．即ii)真，ii)i)．设ii)真，则有．厂一N(Tz，Az，Bz)∈(g()，)，由(·，)的定义得("，)一(g()，)(．厂一N(Tz，Az

8、，Bz)，rl("，9()))，Vv∈X，即(N(Tz，Az，Bz)一．厂，rl(u，9()))(9()，)一(u，)，Vv∈故∈是变分包含问题(1．1)的解．证毕．引理1．3[8]设{o)，{)和{c)是三个非负实数列，且满足条件0n+1(1一)0+b+c，V