有界线性空间中含有Q-距离的Ekeland变分原理-论文.pdf

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1、第16卷第2期应用泛函分析学报Vo1．16．No．22014年6月ACTAANALYSISFUNCTIONALISAPPLICTAJune，2014DOI：10．3724／SP．J．1160．2014．00183文章编号：1009—1327(2014)02—0183—06有界线性空间中含有Q一距离的Ekeland变分原理武洁，贺飞(内蒙古大学数学科学学院，呼和浩特010021)摘要有界线性空间中引入了Q一距离的概念，建立了一类向量值Ekeland变分原理，其目标函数是从有界线性空间映到锥序的实线性空间，并且扰

2、动项中含有Q一距离．由此可以得到有界线性空间中现有的一些Ekeland变分原理．同时建立了有界线性空间中的向量值Caristi不动点定理，也给出二者的等价性．关键词有界线性空间；Ekeland变分原理；Caristi不动点定理；Q一距离中图分类号O177．3文献标识码A1引言与预备知识Ekeland[]给出了一个下半连续且下有界函数的近似极小解的存在性定理，后人称之为Ekeland变分原理．这一原理一直是非线性分析中最为重要的结果，而且已经被应用于许多领域．Ekeland变分原理还与许多重要定理等价，如：Ca

3、risti不动点定理【2】jTakahashi非凸极小化定理[3]j滴状定理Phelps引理[5】．1996年，Kada，Suzuki和Takahashi[。]介绍了距离空间中w一距离的概念，并推广了Ekeland变分原理，极小化定理和Caristi不动点定理．此外，丘京辉教授等人【。】又在一致空间中引入Q一距离，并给出了Ekeland变分原理的一个推广，其中扰动项中含有Q一距离，这一推广包含了Ekeland变分原理的许多已知形式及其改进．本文将Q一距离的概念引入到有界线性空间，并且建立有界线性空间中向量值形

4、式的Ekeland变分原理，这一结果推广了有界线性空间中现有的Ekeland变分原理．我们先来回顾关于有界线性空间的一些基本概念和基本结果．定义1．1[7一]设E是实数域R上的线性空间，是E的子集族，称是一个线性有界集族，如果满足：(B1)若∈E，贝0{)∈；(B2)若B1cB2且B2∈，则B1∈；(B3)若B1，B2∈，则B1uB2∈；(B4)若B1，B2∈，贝4B1+B2∈；(B5)对于每个有界区间IcR和B∈，有·B={：∈I，X∈B)∈B．此时称偶对(E，)是有界线性空间，召中的元素称为有界集．由(B

5、5)可以得到若B∈B，则B的平衡包Bb=【一1，1]·B∈舀．收稿日期：2013—09—24资助项目：内蒙古自治区高等学校科学研究项目(NJZZ13019)；内蒙古大学高层次人才引进科研项目(30105-125150)；内蒙古大学校级创新训练计划(2012134)作者简介：武洁(1990-)，女，汉，陕西渭南人，研究方向：泛函分析；通讯作者：贺飞(1979一)，男，汉，内蒙古巴彦淖尔人，副教授，博士，研究方向：泛函分析，E-mail：hefei611@163．com．184应用泛函分析学报第16卷评注1．2拓

6、扑线性空间的全体有界集构成一个线性有界集族，称之为VonNeumamn有界集族，换句话说拓扑线性空间可以生成有界线性空间，但反过来，不是每一个有界线性空间都可以由某一个拓扑线性空间生成．有例(见文献[7】)可以说明存在线性空间上线性有界集族不是任何线性拓扑生成的VonNeumamn有界集族．定义1．3[一]设(E，召)是有界线性空间，称{}CE是M收敛于z∈E，记为zz，如果存在平衡的BEB和正实数列{)且lim=0满足0—’00Xn—∈B，Vn∈Ⅳ+；称{)CE是M—Cauchy的，如果存在平衡的B∈和双元

7、正实数列{)且lim：0llkI)0满足m—X礼∈mB，Vm，n∈N+定义1．4f]设(E，)是有界线性空间，是的子集．记()是中所有M．收敛序列的极限点组成的集合．如果A的所有M一收敛序列的极限都在中，即A=(¨，称是M一闭的．如果中任何M—Cauchy列都M一收敛于4中的元素，称是M一完备的．定义1．51]设(E，召)是有界线性空间，如果E中的每个M一收敛序列的极限是唯一的，则称，)是可分离的．．定义1．6[]称是凸集，如果对于每个t∈[0，1]有tA+(1一t)AcA；称是锥，如果对于每个t∈【0，。。

8、]有tACA；称A是点锥，如果A是锥且AN(-A)：{)；称A是凸锥，如果A是凸的且是锥．类似文[6】中给出的一致空间中Q一距离的概念，我们给出下面的定义．定义1．7设(E，8)是有界线性空间，称个广义实值函数P：E×E一[0，+。。]是E上的Q一距离，如果下面条件成立．(q1)对于任意的X，Y，ZEE，p(x，Z)p(x，Y)+P(Y，z)；(q2)每个满足p(，)一0(?Tt>礼一。。)的序列{