Banach空间中的一类广义太阳集及其相互关系-论文.pdf

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1、第3O卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．30，No．42014第4期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITYBanach空间中的一类广义太阳集及其相互关系水关伟波，李言睿，李燕。(1．哈尔滨师范大学；2．中国石油大学)【摘要】在光滑Banach空间的框架下，引进一类广义太阳集的概念，并研究它们之间的相互关系．【关键词】广义投影算子；广义太阳集；最佳逼近；对偶映射基于函数Alberw(1994)在一致凸和一致0引言光滑的Banach空间中引入广义投影算子兀：设是实Banach空间，为其对偶空间，设—C，即H()=argminr~cm(x，y)

2、，并且详c是的一个子集．集值映射P()={∈C：细研究其性质．容易看到，在Hilbert空间中，Il—zll≤infll—Yll}被称为集值度量投影n。=Pc．算子．若任意∈X，n∈Pc()有垃∈Pc()，在文献[8]中，作者将太阳集的概念推广到其中=n+t(x一岔)，0≤t．则称n是C的太广义的一太阳集，也就是，设为自反且光滑阳点．若c中的任意一点都是C的太阳点，则称c的Banach空间，C是的子集．称n∈C是c的是太阳集．太阳集的概念是由Efimov，Stechkin4首先引入的．一太阳点是指，对任意∈，若豌∈兀()，Banach空间上的对偶映射l，：—定则∈Ⅱ()，任意≥0，其中EX满足

3、义为：J()={∈Xl(，)=Illl=J()：(1一t)Ja+t．若c中的每一点都是cll}．的一太阳点，则称c是一太阳集．下面列出对偶映射．，的一些性质]：下面列出几个关于一太阳集的事实(见文是自反的当且仅当．，是满射；是严献[8])：设为自反且光滑的Banach空间，c是格凸的当且仅当．，是单射；是光滑的当且仅的子集．①豌是c的～太阳点当且仅当对任当-，是单值映射；④在光滑的Banach空间中，意∈X，若n∈n()，则n∈n。()，其‘，是范一弱星连续的，即蕴涵J()中2∈X满足Jx2=2Jx—Ja；②若c是BanachJx；⑤在Frechet光滑的Banach空间中，．，是范一空间中的

4、凸集，则C是一太阳集．范连续的，即一蕴涵一；⑥任意∈还需要下面的定义和引理：引理1L4设C是自反且光滑Banach空间，口∈R，J(12)=12J()．在为光滑Banach空间的情况下，文献引的一个子集，若n∈n()，则∈n()，进函数W(，Y)：=lJll一2(Jx，y)+lJyJl，其中∈X满足J()=(1一f)Ja+，0≤t≤1．，y∈咒容易萼佥i正(1IlI—IlYl1)≤r(，Y)≤(IllI+lJYlJ)2．定义1[51C是一迫近的是指任意E，收稿日期：2014—04—23黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12511161)12哈尔滨师范大学自然科学学报2014年第30卷n()是非空

5、集合；c是半一ChebysheV的是定义1．2设为自反且光滑的Banach空间，c是的一迫近子集．称c是Ⅱ一太阳集指任意∈X，17()至多是单点集；c是W—是指，对任意隹c，任意豌∈17()，使得nEChebyshev的是指C是一迫近的且是半一Chebyshev的．n(Xt)，任意t≥0，其中∈X~zJ(x)=(1一￡)Ja+tJx．1主要结果定义1．3设为自反且光滑的Banach空命题1．1设为自反、严格凸且光滑的间，c是的子集．称c是Ⅲ一太阳集是指，对任Banach空间，C是X的子集．令∈X，n∈C．若意隹C，任意r>0，存在∈X，n∈l-I()n∈n()，则{岔}=兀。()，其中任意o≤

6、使得l】lI一IIlI+2

7、太阳集是Ⅲ一太阳集，Ⅲ进一步整理得t[一2(jx，)+2(，n)+一太阳集是Ⅳ一太阳集．若c是自反且光滑II瓦ll一ll砼li。]=(1一)[1lnlI+ll瓦ll一Banach空间中的W—Chebyshev集，则I一太阳2(Ja，瓦)]集是Ⅱ一太阳集．也就是例在自反且光滑的Banach空间中，闭凸(，n)一(，)=L(集是Ⅱ一太阳集．，瓦)．命题1．3设为自反且光滑的Banach空若≠瓦则由严格