Banach空间中一类分数阶微分方程边值问题.pdf

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1、2013年2月纯粹数学与应用数学Feb.2013第29卷第1期PureandAppliedMathematicsVol.29No.1Banach空间中一类分数阶微分方程边值问题董琪翔1,毋光先2,李姣1(1.扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002;2.焦作师范高等专科学校数学系,河南焦作454001)摘要：研究Banach空间中一类非线性分数阶微分方程边值问题.构建此类方程的Green函数,利用非紧测度和相关的不动点定理,得到了此类方程的mild解存在的几个充分条件,所得结果改进和推广了一些已有的结论.关键词：分数阶

2、积分;分数阶导数;微分方程;边值问题;mild解中图分类号：O175.15文献标识码：A文章编号：1008-5513(2013)01-0001-10DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.01.0011引引引言言言本文研究Banach空间X中非线性分数阶微分方程边值问题Du(t)−aDu(t)+f(t;u(t))=0;0

3、:分数阶微积分是经典整数阶微积分的推广.由于分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程,因而越来越多地被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统,信号处理和系统辨识,控制和机器人及其他应用领域中的问题,近年来得到很大的发展[1-7].文献[3]在实数域R中讨论了方程(1),研究了当f连续以及适当的增长性条件下,边值问题(1)的解的存在性.本文研究Banach空间X中非线性分数阶微分方程边值问题方程(1).利用非紧测度理论及相关的不动点定理等工具,在f为Carathedory型等较弱的条件下,得到边值问

4、题方程(1)的mild解的存在性,改进和推广了已有的相关结论.收稿日期：2012-09-04.基金项目：国家自然科学基金(10971182);江苏省自然科学基金(BK2009179,BK2010309);江苏省高校自然科学基金(09KJB110010).作者简介：董琪翔(1967-),博士,副教授,研究方向：非线性泛函分析.2纯粹数学与应用数学第29卷2预预预备备备知知知识识识定定定义义义2.1[2]设h∈L1([a;b];R),>0,定义算子Ia:L1([a;b];R)→C([a;b];R)为∫t1(t−s)Iah

5、(t)=h(s)ds;t∈[a;b];aΓ()称为函数h的阶Riemann-Liouville(分数阶)积分,也称Ia为Riemann-Liouville分数阶积∫1分算子,其中Γ(·)为Gamma函数,即Γ(z)=ettz1dt.0定定定义义义2.2[2]设h:[a;b]→R;>0;n=[]+1,定义n∫t1dn1Dah(t)=n(t−s)h(s)ds;t∈[a;b];Γ(n−)dta称为h在t点的阶Riemann-Liouville(分数阶)导数,也称Da为Riemann-Liouville分数阶微分算子,

6、其中[]表示实数的整数部分.可以证明,分数阶积分算子对指标满足半群性质,即对;>0,t∈[a;b],有IIh(t)=I+h(t)=IIh(t):aaaaa当为正整数时,分数阶导数Dah(t)即为整数阶导数h(n)(t).若n−1≤

7、u∈C([0;T];R),则limInu(t)=0.t!0+因此若u∈Cm([0;T];R),则Dn+mu(0)=0,0≤m≤n−1.在研究抽象空间微积分方程时,非紧测度理论是一个有力的工具[8-11].下面引入非紧测度的定义及相关的不动点定理.定定定义义义2.3[8]设Y是实Banach空间,B是Y中的有界子集,令Y(B)=inf{">0;B在Y中被有限个半径不小于"的球所覆盖},称Y(B)为B在Y中的Hausdorff非紧性测度.引引引理理理2.2[8;11]设Y;Z是实Banach空间,B;C是Y中的有界集,

8、是一实数,则(1)Y(B)=0⇔B是相对紧集;(2)Y(B)=Y(B)=Y(convB),B和convB分别为B的闭包和凸包;(3)B⊆C⇒Y(B)≤Y(C);(4)Y(B+C)≤Y(B)+Y(C),其中B+C={x+y:x∈B;y∈C};第1期董琪翔等:Banach空间中一类分数阶微分方程边值问