Banach空间中Ishikawa迭代收敛定理-论文.pdf

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1、第32卷第5期嘉应学院学报(自然科学)Vo1．32No．52014年5月JOURNAL．OFJIAYINGUNIVERSITY(NaturalScience)Mav．2014Banach空间中Ishikawa迭代收敛定理顾朝晖(广东外语外贸大学思科信息学院，广州510006)摘要：在Banach空间中，给出了平均非扩张映射『l一IlCalI—YlI+bIl一lI的Ishikawa迭代收敛的充要条件，所得结果改进和推广了平均非扩张映射的Ishikawa迭代收敛的性质．关键词：平均非扩张映射；Ishikawa迭代；不动点中图分类号：O177．91文献标识码：A文章编号：1006—642X(2014

2、)05—0010—03O引言及预备知识则称序列{}是关于{}，{／3}[0，1]的Ishikawa迭代．许多学者对平均非扩张映射的不动点问题做了很多研究，其中张石生¨、赵汉宾]、杨姗姗分1主要结论及其证明别证明了平均非扩张映射在Banach空间中的不动在证明平均非扩张映射的Ishikawa迭代收敛的点的存在性．自从Ishikawa提出Ishikawa迭代以充要条件前，给出相关引理．来，学者对Ishikawa迭代法收敛性做了许多研究，文引理设是Banach空间，：D()一是具献[5]一[11]分别在不同空间得到了不同映射的有不动点的平均非扩张映射，则对V。∈X，T的Ishikawa迭代的收敛性定

3、理，其中文献[10]在研究Ishikawa迭代序列有界．一致Lipschitz渐近伪压缩映象和非扩张映象不动证明设，()是的不动点集，P∈F()，则点的迭代逼近时，给出了迭代序列强收敛的充要条JI一pII=lI一ll≤aIl一PIl+bIl件，文献[11]给出了‘p强增生型变分包含的Ishika．一Il≤(口+b)II-pIl≤ll-pI．所以Wtt迭代序列强收敛的充要条件．本文主要研究平均ll+l—PlI=l(1一Ot)+Ty一PlJ=ll非扩张映射的Ishikawa迭代收敛的充要条件．(1一)(-p)+(一p)II≤(1一仅)lI一定义1设是Banach空间，是到的映PlI+II一pII≤

4、(1一)ll一PlI+lIY射，若V，Y∈X，17,，bI>0，o+b≤1，一PlI=(1一)lI-pll+lI卢Tx+(1一)『l一-yIlCalI-yll+bll一II，(1)-plI=(1一)I-plJ+0c『I(Tx一P)+(1一卢)(一pII)≤(1一)Il一PlI+I1则称T为平均非扩张映射．定义2设是Banach空间，为平均非扩张Tx一PIl+(1一)ll-pIl≤(1一)lI一映射．若序列{}满足PI+aII-pI1+(1一卢)l一PIl=IlY=／3Tx+(1-／3)，(2)一plI≤⋯≤II一1一PII≤⋯≤II0-pIl，．所以+1=(1一)+Ty，(3){}为有界序列．

5、定理1设是Banach空间，是—具有不动点的平均非扩张映射，口+b0，m∈NlI一I≤⋯≤IIO—qlI，所以n—q．必要性：如果一g，q∈F()II一。fI+，．．II≤口lI一+0+bII一+fI≤口{I一Il+I1

6、一+ll+l1+一+II}≤一qIl+lITy一qI≤II。一qlI+IlY一qll+b{II一Il+Il一+I}由于a+b0．整理得Il一+II≤一gll+(1一卢)(一q)+JB(一q)ll≤ll芒lIXn—TxlI+南一+，，．1IlI一qII+(1一卢)ll一ql+卢IlTx一qlI≤[1+卢+(1一卢)]ll戈一qIl=2II一qH，所一I(，l_++∞)，故II+一+I1以有liminfIl一Il=O．定理证毕0(，l，m_+∞)，因此II一+II(F／,，从定理2的证明中可以得到下面几个推论：m．--~+

7、∞)，从而{}是柯西列．推论1设是Banach空间。71是—具有令limTx=p因为limlI一TxII=0，故lim=不动点的平均非扩张映射，且a《I，则的IshikawaP，容易证明P为的不动点．迭代序列{}收敛于不动点的充要条件是limiIlfI必要性：如果limx=p，P∈F()，IJ一一ll=0．ll≤Il-pIl+lI一plI≤lI戈-pll+II-p推论2设是Banach空间，是—具