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《致凸Banach空间中渐近非扩张映的Mann和Ishikawa迭代格式的强敛定理【文献综述】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、毕业设计文献综述数学与应用数学一致凸Banach空间中渐近非扩张映像的Mann和Ishikawa迭代格式的强收敛定理非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴,是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分,它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分,而且在微分方程,积分方程,力学,控制论,对策论,经济平衡理论,交通运输,社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用.因此,研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义,而且也具有重要的应用价值.而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点问题.非线性算子的不动点理论在建立
2、各类方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用.1895-1900年间,法国数学家H.Poincare在代数拓扑学中使用了不动点概念.1910年,L.E.J.Brouwer证明了有限维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点.1922年,波兰数学家Banach更一般地处理了这个问题,并提出了著名的Banach压缩映像原理.Brouwer不动点定理设是中的某有界凸闭集,连续,则在内必有不动点.Banach压缩映像原理设是完备的距离空间,是压缩映像,则在中具有唯一的不动点,即存在唯一的,使.自Banach压缩映像原理和Brouwer不动点定理问世以
3、来,特别是最近二三十年来,由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力,这门学科的理论及应用研究已取得重要的进展,并且日趋完善.非线性算子的类型很多,其中非扩张映像与渐近非扩张映像是两类非常重要的非线性映像.非扩张映像的定义如下:设是Banach空间的非空闭凸子集,则称为非扩张映像,如果对任意的,有.若是一致凸Banach空间的非空闭凸子集,那么每一个非扩张映像有不动点.非扩张映像是压缩映像的一种推广,在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用,它在近代数学许多分支都有应用,特别是在非线性半群,遍历定理和单调算子理论方面有着重要的应用.随着非扩
4、张映像不动点理论的发展,学者们得出了关于非扩张映像的一系列结论.1955年,Krasnoselseii证明了如下的关于非扩张映像的收敛定理.定理KR设是一致凸Banach空间,是的有界闭凸子集,若是非扩张映像,是紧集,且是中任意给定的点,则有下列定义的映像,,序列是由下列定义的,则序列强收敛于的不动点.1957年,Scheafer在定理KR的条件下,证明了如下定义的序列:,强收敛于的不动点,其中.渐近非扩张映像是非扩张映像的推广,在求解非线性不动点的问题上也起到重要的作用,由Goebel和Kirk于1972年首次提出,渐近非扩张映像的定义是
5、:设是一致凸Banach空间,是的非空子集.映像被称为渐近非扩张的,如果存在序列,且,使得对所有的和所有的.渐近非扩张映像已经由许多作者所研究.Goebel和Kirk证明了如果是一致凸Banach空间上非空有界闭凸子集,则上的每一个渐近非扩张自映像必有一个不动点.非线性映像的不动点的寻求是学者们一直所关心的问题,而对于一些具体的非线性算子方程不动点的求解是十分困难的.因此,数学家们通过构造迭代序列去逼近不动点来求解这些方程,其中Picard给出了最早的迭代序列,其具体格式为但是Banach压缩原理证明中所用的Picard迭代方法对于非扩张映
6、像却未必是收敛的,之后Mann受到Banach压缩映像原理的启发,在1953年提出了如下的迭代序列:称之为Mann迭代序列.1976年,Ishikawa推广了Mann迭代格式,得到了如下的Ishikawa迭代序列:相比于Mann迭代序列,Ishikawa迭代序列更为一般化且包含了Mann迭代序列(当上述的取为零时,Ishikawa迭代序列就转化成了Mann迭代序列).在一般情况下,无论是Mann迭代序列还是Ishikawa迭代序列对非扩张映像和渐近非扩张映像只有弱收敛.但是若在对算子外加完全连续或对集合加紧性等限制条件时,Mann迭代序列或
7、Ishikawa迭代序列对非扩张映像和渐近非扩张映像可获得强收敛定理.因此,近年来很多专家学者致力于修正的Mann迭代序列和修正的Ishikawa迭代序列,从而在没有对算子外加其他限制的条件下,对于非扩张和其他更为广泛的压缩映像等获得强收敛定理.1991年,Schu在渐近非扩张映像中提出了修正的Mann和Ishikawa迭代方法,其法如下:设是一赋范空间,是中的非空凸子集,是一给定的映像.对任意,修正的Mann迭代序列定义为.其中是中的序列.设是一赋范空间,是中的非空凸子集,是一给定的映像.对任意,修正的Ishikawa迭代序列定义为其中是
8、中的序列.同年,Schu证明了下面的渐近非扩张映像的收敛定理.定理JS1.设是Hilbert空间,是的一非空有界闭凸集.是一全连续的渐近非扩张映像且序列对所有的,和设是中的实数列
