一元实系数多项式方程实根的求解问题

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1、华南理工大学学报(自然科学版)第30卷第5期JournalofSouthChinaUniversityofTechnologyVol.30No.52002年5月(NaturalScienceEdition)May2002文章编号:1000_565X(2002)05_0008_04一元实系数多项式方程实根的求解问题周智恒洪毅廖芹(华南理工大学应用数学系,广东广州510640)摘要:对于一元实系数多项式方程的求根问题,提出了一种实用的数值解法,对一般的牛顿迭代法进行了改进和完善,研究了5次以上多项式方程

2、在整个实数域中的根的求解及迭代快速逼近的问题.关键词:实根;多项式方程;牛顿法中图分类号:O242.23文献标识码:Ann-1把形如F(x)Sa0x+a1x+,+an-1x+后第一个为负数的系数.若不存在这样的ak,即全an=0的方程称为一元实系数多项式方程.经前人部系数为正,F(x)=0不会有正根,此时直接令的证明,这样的方程到了5次及5次以上,就已经没B=0;若存在,再设Q是所有负系数的绝对值的有公式解了,求解高次的方程只能转入理论上的研最大值,则F(x)=0正根上界(即根的上界)为k究,给出的

3、结果也只能是数值解.而一般的牛顿迭代B=1+Q/a0.法虽然收敛的速度比较快,但只能针对某一有限的º根下界A:利用求正根上界的方法,先求方区间求出数值解,其中对多于一个根、重根或者是选程F(-x)=0的正根上界Bc,则原方程F(x)=0择迭代初始点等问题的解决也不是很理想的.本文的负根下界(即根的下界)为A=-Bc.在整个实数域上进行求根,巧妙地避开了一个区间由于A[0且B,根x=0是一定会落在多于一根的情况,有效地解决了重根的问题,并给出区间[A,B]中的.于是得到F(x)=0实根的上下一个找

4、初始点的方便方法.界[A,B][1].(3)求F(x)的驻点1解法的一般步骤求F(x)的驻点相当于求一个n-1次的方程(1)总体思路的解.而求n-1次方程时,又需要通过求一个n-2对方程F(x)Sann-1次的方程来求其驻点.这样递归下去,当遇到的是10x+a1x+,+an-1x+an=0,其中n3且a0,a1,,,an为实数,不妨假次或2次的方程时,就可以直接使用求根公式.把求出的所有互不相同的驻点记成一个集合设a0>0.欲求方程在(-],+])中所有实根,首Z={Z1,Z2,,,Zm},其中Z

5、10,设ak(k1)是a0以利用求得的驻点把区间[A,B]划分为若干个小的区间,这样做的目的是使每个小区间中至多

6、有一个实根存在.因为在两个驻点之间,F(x)的导函收稿日期:2001_12_05数Fc(x)是不会发生变号的,只要F(x)与X轴相作者简介:周智恒(1977-),男,硕士,主要从事数理统计方向的研究.交,则肯定会有一个实根存在,见图1.第5期周智恒等:一元实系数多项式方程实根的求解问题9由于集合Z中的元素有可能落在区间[A,B]去,其中1[i[l-1;之外,见图2.于是令Y1=A,若ZiI[A,B](1[º若F(Yi)#F(Yi+1)>0,则把区间[Yi,i[m),则令Yj=Zi,最后令Yl=B(设

7、符合条件Yi+1]除去,其中1[i[l-1.的Zi有l-2个),其中l[n+1.这样就得到了一个新的数列Y1,Y2,,,Yl,记录的是实根上下界和落在实根所在区间中的驻点.按次序把它们两两作为上下界,就得到l-1个小区间,[Y1,Y2],[Y2,Y3],,,[Yl-1,Yl].图3无根的区间Fig.3Theintervalwithoutroots(7)牛顿迭代法的应用对经筛选后的区间[Yi,Yi+1]使用牛顿法.传统的牛顿法并没有给出定初始点x0的方法,我们可以选取F(x)的2阶导数为0的点作为初始

8、点.需要图1实根区间和驻点情形1注意的是,我们只是选取F(x)的2阶导数为0的Fig.1Circumstance1ofrealroots.intervalandsaddlepoint点,而不是选取拐点,两者的概念有所不同.这样做的好处是加快了收敛的速度.如图4所示,2阶导数为0的x0刚好位于F(x)的2阶导数正负号发生变化的地方,不管根位于[Yi,x0]还是[x0,Yi+1]中,从x0开始迭代时切线的方向总可以与根所在区间F(x)的变化方向一致,因而收敛会更快.图2实