一元二次方程的实根分布问题.doc

《一元二次方程的实根分布问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一元二次方程的实根分布问题问题1.试讨论方程的根的情况。（1）根的个数：b、c满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？（2）根的大小：b、c满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？一根为0？（3）根的范围：b、c满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根大于1？说明对于一元二次方程的根的研究，主要分为四个方面（A）有没有实数根；（B）有实数根时，两根相等还是不等；（C）根的正负；（D）根的分布范围。利用根的判别式，可以解决（A），（B），结合运用韦达定理，可以解决（C）。而要解决（D），需综合运用判别

2、式、韦达定理及不等式的知识。思路1（方程思想）设（1）方程有两个大于1的实根的充要条件是：（2）方程有两个小于1的实根的充要条件是：（3）方程有一根大于1，一根小于1的充要条件是思路2（函数思想）设，结合图形，则（1）方程有两根都大于1的条件是：（2）方程有两根都小于1的条件是：（3）方程有两根一个大于1，小于1的条件是：令，导出下题。问题2关于x的方程，分别在下列条件下，求实数n的取值范围。（1）有一个根小于—1，一个根大于1；（2）两根均在内。解：（1）设为使有一个根小于—1，一个根大于1，则有即为所求。（2）两根均在内的充要条件是即为所求。思考：

3、（1）中为什么不考虑？（2）中为什么要考虑四个条件，缺一行吗？问题3若关于x的方程有两个不同的实数根，且只有一根在[1，2]内，求a的取值范围。解：令，（1）若方程在（1，2）上有一根。（2）若，此时a=8,方程的两根为适合题意。（3）若，此时a=4，方程的两根为不适合题意。综上所述，a的取值范围是说明：在进行一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进行的，所以“D≥0”千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况：（1）有两个正根的条件是（当a＞0时，简化为）（2）有两负根的条件是（当a＞0时，简化为）（3）两根异号的条

4、件是＜0a＞0，简化为c＜0．（4）两根异号，且正根绝对值大的条件是（当a＞0时，简化为）（5）两根异号，且负根绝对值大的条件是（当a＞0时，简化为）例4如果关于x的方程＋3x＋5m＝0的两个实数根都小于1．求实数m的取值范围．分析：我们知道，两数、都为负数的条件是，那么是不是，就可由来决定呢？不，不能．我们通常是将，，转化为，，从而由来解决．解：设原方程的两个根为、，则+=，·=m由题意，知﹤1，﹤1，∴－1﹤0，－1﹤0∴（－1）（－1）﹥0，·－（+）+1﹥0，m++1﹥0∴m﹥－1又∵△=9－4×2×5m=9－40m≥0∴m≤，∴∴－1﹤m≤说

5、明：利用根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由△>0（或△≥0），及方程中根的分布情况建立字母系数的不等式组，这里的关键是条件的等价变形与转化．