一元二次方程实根分布

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1、一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数

2、关系（韦达定理）即可判别。一元二次方程（）的两个实数根为、，则、均为正△0，＋＞0，＞0；、均为负△0，＋＜0，＞0；、一正一负＜0。例1．关于的一元二次方程有两个负数根，求实数取值范围。解：设两个实数根为、，依题意有由①得：，，恒成立。由②得：＜0，解之，＞。由③得：＞0，解之，＞7。综上，的取值范围是＞7。例2．若＞0，关于的方程有两个相等的正实数根，求的值。解：设两个实数根为、，依题意有由①得：，，或。若，则＋＜0，不符合②，舍去。故，此时均符合②、③，。二．一元二次方程实根的非零分布——分布设一元二次方程（）的两实根为、，且，为常数。则一元二次方程实根的分布指、相对于的关系

3、，例如、均比大，或者、均比小，或者、一个比大，一个比小等等。、均比常数大△0，（－）＋（－）＞0，（－）（－）＞0；、均比常数小△0，（－）＋（－）＜0，（－）（－）＞0；、一个比大，一个比小△＞0，（－）（－）＜0。例3．若方程的两根均大于1，求实数的取值范围。解：设两个实数根为、，由韦达定理得：＋，。依题意有由①得：，解之，或。由②得：＞2，解之，＞1。由③得：，解之，＞1。综上，的取值范围是。当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。

4、那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。我们知道，如果二次函数的图像与轴有交点，那么交点的横坐标即为二次方程的实数根。反之亦然。利用这一点来看问题1：什么条件下，二次方程两个实数根、一个比大，另一个比小（是给定的常数）？上面问题等价于：什么条件下，二次函数图像与轴两个交点分布在点两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）。tx2x1tx2x1显然，当时，；当时，。问题2：什么条件下，二次方程两个实数根、

5、都比常数大？构造二次函数，结合图形，tx2x1tx2x1当时，△0，，；当时，△0，，。问题3：什么条件下，二次方程两个实数根、都比常数小？构造二次函数，结合图形，tx1x2x1tx2当时，△0，，；当时，△0，，。问题4：什么条件下，二次方程两个实数根、满足＜，＞（其中、为给定常数且＜）？构造二次函数，结合图形，x2tsx1tsx2x1当时，，；当时，，。问题5：什么条件下，二次方程两个实数根、均介于、之间（其中、为给定常数且＜）？构造二次函数，结合图形，tstsx1x2x1x2当时，△0，，，；当时，△0，，，。看几个具体事例。例4：为实数，关于的二次方程有两个实数根分别介于0

6、与1之间以及1与2之间，求的取值范围。解：构造二次函数，结合图形，有，201解之，，故取值范围是。例5：已知为整数，且方程两根都大于且小于，求值。解：显然，。构造二次函数，则其图像与轴两个交点均介于、之间（不包括两个端点）。如图，则有（－,0）(,0)由①得：，由②得：，解之得，由③得：，解之得。故的取值范围是。所以可取的整数值为。例6：若、为整数，方程的两个实数根都大于且小于，求与的值。解：构造二次函数，则其图像与轴的两个交点均在与之间（不包括两个端点）。如图，则有(－1,0)(0,0)由①得：，，由②得：，由③得：，，由④得：。显然，，，，可取的值有。当时，，，符合；当时，，，

7、不符合；当时，，，均不符合；当时，，，均不符合；当时，，，均不符合。故本题的解为，。例7：方程的所有实根介于与之间（不包括、），求的值。简析：本题与上述问题的最大区别在于针对二次项系数要进行分类讨论。解：当时，，，符合题意。当时，令，首先，，解之，。其次，抛物线的对称轴应介于直线与直线之间，有，即，由此可知，，解得。由于抛物线开口向上，故有52综合①、②、③、④可得或者。例8：关于的方程有三个实数根分别为、、，其中根与无关。（1）如，求实数的值；（2）如，试比较：与的