实系数二次方程实根分布问题中参数范围的求法

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1、万方数据50数学教学研究第34卷第2期2015年2月实系数二次方程实根分布问题中参数范围的求法蔡勇全(四川省资阳市外国语实验学校641300)确定实系数二次方程实根分布问题中参数的取值范围是高中数学教学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，它涉及的数学思想方法较多，综合性较强，解决此类题的主要思路是从对应函数的开口方向、特殊点函数值的正负、对称轴位置、判别式与。的关系等几个角度综合考虑后构建充要条件，从而求出参数的取值范围．本文结合实例介绍这方面题目的几种类型及其求解策略，供大家参考．为叙述方便，本文约定，当实系数二次方程nz2+妇+c=o(n≠0)有两个实根时

2、，两个实根分别为z·，zz．类型l方程的两个实根均小于常数愚．此种类型的求解策略是：令，(z)=口z2+如+c，则f△劾，f△≥o，{(z1一是)+(z2一忌)o，【(z1一是)(z2一是)>o卜麦<忌．例1已知关于z的方程(1+口)z2—3nz+4口一。的所有根均小于1，求实数n的取值范围．解析若1+口一O，即n一一1时，方程变为3z一4一o，其根为z一÷，不满足题意，所以n≠一1．令厂o)一(1+口)≯一3nz+4n，由题意可知，收稿日期：2014一lO一20f△≥0，．{(1+口)厂(1)>o，∞一丢

3、(一去，o]．变式已知I盘}=1，且方程nz2—2z一6+5一。有两个负实数根，求实数6的取值范围．解析令．厂(z)一口z2—2z一6+5，由题意可知，f△≥O，J口厂(o)2盘(一6+5)>o，甘5<6≤6，l一≠o，刮口厂@)>o，【(z，一愚)(z。～忌)>oI一麦>忌．例2已知一元二次方程耐一(m+1)z+3一。的两

4、个实根都大于一1，求实数仇的取值范围．解析令万方数据第34卷第2期2015年2月数学教学研究5l厂(z)一撇2一(仇+1)z+3，由题意可知，f△≥O，j7玎(一1)>o，I一，掣尘>一1㈢饥<一2或优≥5+2√6，因此实数仇的取值范围为{疬I仇<一2或m≥5+2~／6)．变式已知一元二次方程(m一1)z2+2(m+1)z一仇=o有两个正根，求实数优的取值范围．解析令，(z)=(m一1)z2+2(m+1)z—m，由题意可知，f△≥0，J(m一1)厂(o)>o，管o<77l<1，l一畿等>o因此实数仇的取值范围为(o，1)．评注对于例2，若尝试从r△≥O，．{(z

5、1+1)+(z2+1)>O，L(z1+1)(z2+1)>O角度去求解m的取值范围，则运算量会明显大于上述解法的运算量．类型3方程的一个实根大于常数点，另一个实根小于志．此种类型的求解策略是：令，(z)=们2+如+c，则(．z1一是)(二c2一志)

6、

7、学<一麦<虹例4已知关于z的方程nz2+z+口一3=o在区间(一2，o)内有且仅有一个实根，求实数n的取值范围．解析(1)当口一。时，原方程变为z一3一o，易知其根为z一3，不满足题意．(2)当口≠o，原方程为一元二次方程．①若z，一一2，代入原方程可求得n=1，易知方程的另一个根为zz=1，显然不满足题意；②若zt—o，代人原方程可求得口=3，易万方数据52数学教学研究第34卷第2期2015年2月知方程的另一个根为zz一一告，满足题意；③若一2与。均不是方程的根，令，(z)=nz2+z+n一3，根据题意，一定有，(一2)，(o)

8、满足题意的实数口的取值范