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1、用二分法求解一元实系数多项式方程的全部实根摘要：运用二分法，结合实系数多项式零点的界定理，给出了一个求解一元实系数多项式方程全部实根的实用数值方法.关键词：多项式方程;二分法;实根1问题的提出当次数时，对于一元实系数方程一般没有确定的代数解法，只能给出数值解.相应的数值方法主要有二分法、简单迭代法、牛顿迭代法等，其中牛顿迭代法常被讨论并加以改进.但这些方法在实际应用中会遇到在这样的两个问题:（1）在含有单个实根的区间，通常可用二分法将此根求出，但当在区间两端点同号或在中有多个实根时，仅用二分法难以确定该区间上根的情况.（2）一元实系数方程在上的根无法直接用二分法求得．本
2、文基于二分法，结合实系数多项式零点的界定理，克服了上述问题，能够在范围内快速确定方程实根的孤立单调区间，从而求出一元实系数多项式方程的全部实根.2引理及定义引理1 界定理设有次实系数多项式，令，指导教师：老师作者简介：姓名(1987-)，男，陕西咸阳，数学与应用数学专业200X级X班.则的实零点都在区间的内部.利用这个引理可求实系数多项式零点的上界和下界.引理2 二分法设函数在上单调连续，则如果，在上无实根，而当，则在内有唯一的实根，可用二分法求得.设为在内唯一的实根.考察区间，取其中点，将区间分为左右两部分，若，则，而若，则，不管属于哪个区间，记这个有根区间为，其长度
3、是的一半.对施以同样的方法，即以的中点将区间分为两半，得出新的有根区间.如此反复进行下去，可得出一系列有根区间，其中每一个区间是前一个的一半，即.如此可见，只要二分过程无限继续下去，这些有根区间必收敛于一点，该点显然就是所求根.在实际计算过程中没必要也不可能无限进行下去，因为计算结果允许带有一定的误差.因为，只要二分足够多次，便有.为预定精度.我们可以用控制二分过程，该不等式成立时，即中段二分过程，即为满足精度的根.3求解方法设为实系数多项式，且.二分法之所以不能直接用于求解一元实系数多项式方程的全部实根，是因为在的实根不止一个，且的含根区间又是.本方法先是求出实系数多
4、项式函数的单调区间，然后再在单调区间上应用二分法，本文求解全部实根的步骤如下:（1）确定包含的全部实根的界.由引理1，可得包含全部实根的区间.（2）确定单调区间，具体见下一问题.（3）用二分法分别求出每一孤立单调区间上的解.4求解单调区间的步骤以下以五次方程的解法说明问题.，记，要运用二分法求得原方程的根，就要知道的极值点，进而得出单调区间，对求导得（1）由于该式仍为高次方程，不能直接得出根，所以还得应用二分法，先求出极值点，再求单调区间，对（1）式求导得（2）该式仍为高次方程应用以上方法，继续求导（3）作图时以五次多项式为例，记，它的各阶导数分别为，，.（3）式为二次
5、多项式，根易得，记为，，其为（2）式的极值点，（2）式对应特例的图像见图1．图1（2）式的零点区间由界定理得出记为,同单调区间为，，，在以上三个区间上应用二分法插值计算，得到（2）式分别在这三个区间上的三个零点，记为，，，这三个零点为其为（1）式的极值点，（1）式对应特例的图像见图2．图2（1）式的零点区间由界定理得出记为,单调区间为，，，，在以上四个区间上应用二分法，得到（1）式分别在这四个区间上的四个零点，记为，，，，其为五次多项式的的极值点，该五次多项式对应特例的图像见图3．图3该五次多项式的零点区间由界定理得出记为,单调区间为，，，，，在以上五个区间上应用二分法
6、，得到五次多项式的分别在这五个区间上的五个零点，记为，，，，.那么原五次方程的根为，，，，.5实例下面用能够进行代数求解的多项式方程验证本文提出的算法.解题中的相关运算均在Matlab中进行.例求解方程的全部根，精度.解先求多项式的导数，则设，则，则.的根易得出，三个根分别为0,0,-1.2，下面来计算的根.过程见表1.表1各阶导函数对应方程由界定理得有根区间孤立单调区间在前面孤立单调区间用二分法插值或求根公式得根0,0,-1.2(-2.6,2.6)(-2.6,-1.2),(-1.2,0),(0,2.6)-1.6449，无实根，0.4596(-3,3)(-3,-1.64
7、49)，(-1.6449,0.4596)，(0.4596,3)-2.0000，-1.0000，1.0000则原方程的根为-1,1,-2.6推广设函数在含有的开区间内具有直到阶导数，存在一个次多项式函数．，令，由泰勒公式知，且.只要的次数足够高，就可找到足够精度的多项式逼近，这样的话就可以用多项式的根逼近的根，这样的话对于这样的方程也可以解了，在含有的开区间内具有直到阶导数.7结论本文所讨论的关于求解一元实系数多项式方程实根的数值方法，是一种结合了实系数多项式零点的界定理二分法.在方法上避免了一般迭代法初值难以选取的问题，使得二分法这种简单
