用matlab实现线性常系数差分方程的求解

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1、数字信号处理课程设计题目：试实现线性常系数差分方程的求解学院：专业：班级：学号：组员：指导教师：22题目：用Matlab实现线性常系数差分方程求解一．设计要求1．掌握线性常系数差分方程的求解2．熟练掌握Matlab基本操作和各类函数调用3．结合Matlab实现线性常系数差分方程的求解二．设计原理1．差分与差分方程与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k－1),f(k－2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为（3.1—1）一阶后向

2、差分定义为（3.1—2）式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为（3.1—3）二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。由查分的定义，若有序列、和常数，则（3.1—4）这表明差分运算具有线性性质。二阶差分可定义为（3.1—5）22类似的，可定义三阶、四阶、…、n阶差分。一般地，n阶差分（3.1—6）式中（3.1—7）为二项式系数序列f(k)的求和运算为（3.1—8）差分方程是包含关于变量k的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为（3.1—9a）式中

3、差分的最高阶为n阶，称为n阶差分方程。由式（3.1—6）可知，各阶差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合，故上式常写为（3.1—9b）通常所说的差分方程是指式（3.1—9b）形式的方程。若式（3.1—9b）中，y(k)及其各移位序列均为常数，就称其为常系数差分方程；如果某些系数是变量k的函数，就称其为变系数差分方程。描述LTI离散系统的是常系数线性差分方程。差分方程是具有递推关系的代数方程，若一直初始条件和激励，利用迭代法渴求的差分方程的数值解。2.差分方程的经典解一般而言，如果但输入—单输出的LTI系统的激励f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f

4、(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n阶常系数线性差分方程，它可写为22（3.1—10a）式中、都是常数。上式可缩写为（3.1—10b）与微分方程的经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用表示，特解用表示，即（3.1—11）a.齐次解当式（3.1—10)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程（3.1—12）的解称为齐次解。首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为（3.1—13）它可改写为y(k)与y(k－1)之比等于－a表明，序列y(k)是一个公比为－a的等比级数，因此y(k)应有如下形式（3.1—14）式中C式常数，有初

5、始条件确定。对于n阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为的序列组合而成，将代入到式（3.1—12），得22由于C≠0，消去C；且λ≠0，以除上式，得（3.1—15）上式称为差分方程式（3.1—10）和式（3.1—12）的特征方程，它有n个根，称为差分方程的特征根。显然，形式为的序列都满足式（3.1—12），因而它们是式（3.1—10）方程的齐次解。依特征根取值的不同，差分方程齐次解的形式见表3—1,其中、、、等为待定常数表3—1不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解单实根重实根一对共轭复根重共轭复跟b.特解特解的函数形式与激励的函数形式有关，表3—2列出了集中典型的激励f(

6、k)所对应的特解。选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数等，就得出方程的特解。表3—2不同激励所对应的特解激励特解所有特征根均不等于1时当有重等于1时的特征根时当不等于特征根时当是特征单根时22当是重特征根时或所有特征根均不等于c.全解式（3.1—10）的线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为（3.1—16）如果特征根为重根，而其余n－r个特征根为单根时，差分方程的全解为（3.1—17）式中各系数由初始条件确定。如果激励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合于k≥0。对于n阶差分方程，用给定的n个初始条件y(0),y(1

7、),…,y(n－1)就可确定全部待定系数。如果差分方程的特解都是单根，则方程的全解为式（3.1—16），将给定的初始条件y(0),y(1),…,y(n－1)分别代入到式（3.1—16），可得（3.1—18）由以上方程可求得全部待定系数。2.1零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用表示。在零输入条件下，式（3.1—10）等号右端为零，化为齐次方程，即22（3.1—25）一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k＜0时，激励尚未接入，故式（3.1—25）的几个初始状态满足（3.1—26）式（3.1—26）中的y(－1),