利用微分法快速绘制剪力图与弯矩图

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1、《机电技术》2010年第3期机电研究及设计制造利用微分法快速绘制剪力图与弯矩图陈小兰陈晓波(鄂东职业技术学院，湖北黄冈438000)摘要：本文根据载荷集度、剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程的复杂过程，可以高效的、巧妙的绘制出剪力图和弯矩图。关键词：微分法；剪力图；弯矩图；直梁弯曲中图分类号：TB301文献标识码：A文章编号：1672－4801(2010)03－060－03在高职教材《机械设计基础》材料力学

2、这一(2)在梁的某段，若作用均布载荷，即qx()=常篇中，直梁的弯曲变形是杆件的基本变形之一，数，则Fx()是一次函数，剪力图为一条斜直线，Q在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力而M()x是二次函数，弯矩图为一条抛物线。图和弯矩图（即将梁上所有横截面上的剪力和弯(3)在集中力作用截面的左右两侧剪力有突矩用函数图象的形式表示出来），以便清楚地看出变，突变值的大小等于集中力的大小，弯矩图上梁各个横截面上剪力和弯矩的大小、正负以及危有转折点；在集中力偶作用截面的左右两侧弯矩险截面（即弯矩最大值所在截

3、面的位置）。这一节有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。内容往往是学生不容易掌握的，是教学的难点，(4)在梁的某截面上，若有Fx()0=，则该截Q但是它又是教学的重点，是后面章节尤其是轴的面上弯矩有极值。强度校核的基础。所以学好梁的弯曲变形这一节1.2绘图步骤内容显得非常重要。而分析梁的弯曲变形主要就用平行于梁轴线的坐标x表示横截面的位是绘制梁的各个横截面上的剪力和弯矩，即绘制置，纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩绘制出剪力图和弯矩图。因此剪力图和弯矩图的正确快的图形称为剪力图和弯矩图。剪力的正、负

4、号规速绘制是分析问题的关键。本文根据载荷集度、定为：左上右下为正，即截面左边向上外力产生剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速剪力的为正，截面右边向下外力产生的剪力为正；绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省反之为负。弯矩的正、负号规定为：左顺右逆为去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程正，即截面左边外力对截面形心产生顺时针的力的复杂过程，可以高效、巧妙地绘制出剪力图和矩时产生的弯矩为正，截面右边外力对截面形心弯矩图。产生逆时针的力矩时产生的弯矩为正；反之为负。1微分法绘制剪力图和弯矩

5、图根据微分关系得出绘图步骤如下：(1)正确求出题目中的支座反力（包括大小和1.1载荷集度、剪力和弯矩的微分关系方向）。载荷集度q、剪力F、弯矩M三者存在的Q(2)按照从左往右顺序依次绘制剪力图：无载微分关系为：弯矩方程的一阶导数等于剪力方程，荷作用的梁段，剪力为常数；集中力作用的截面剪力方程的一阶导数等于载荷集度，即剪力有突变，突变值为集中力大小；均布载荷作dMx()dFx()Q用的梁段，剪力为一次函数，图形为一条斜直线，==Fx(),qx()。Qdxdx斜率的正负取决于载荷集度q的方向（即q的方[

6、1]根据上式微分关系得出以下推论：向向下，则斜率为负，反之为正）。(1)在梁的某段，若无载荷作用，即qx()0=，(3)按照从左往右顺序绘制弯矩图：无载荷作则Fx()=常数，剪力图是一条与x轴平行的水平Q用的梁段，弯矩为一次函数，图形为一条斜直线；线，而M()x为一次函数，弯矩图为一条斜直线，集中力偶作用的截面弯矩有突变，突变值为集中斜率为剪力的值。力偶大小；均布载荷作用的梁段，弯矩为二次函60机电研究及设计制造《机电技术》2010年第3期数，图形为一条抛物线，开口方向取决于载荷集2.2多种载荷综合

7、作用时剪力图和弯矩图的绘制度q的方向(即q的方向向下，则开口向下，反之开口向上)。其余梁段利用剪力面积计算法（即指定截面上的弯矩等于该截面左侧部分剪力图面积的代数和，x轴上方为正面积，下方为负面积）计算出由外力引起的弯矩与集中力偶的代数和，[2]从而求出梁某截面上的弯矩。(4)剪力图和弯矩图均可认为从零开始，最终回到x轴。2应用举例2.1单种载荷作用时剪力图、弯矩图的绘制图2多种载荷作用时的剪力图和弯矩图如图2所示，一外伸梁受均布载荷q、集中力偶M和集中载荷F的作用，按照绘图步骤，首先求出支座反力F

8、=25kN，F=15kN，方向均向BE上。建立坐标系后，剪力图的绘制：AB段有均布载荷q作用，剪力图为斜直线，由于q方向向下，斜率为负，产生负剪力F=−(20)kN；B截面上有Q集中载荷FB作用，剪力有突变，突变值为+25kN，即F=−+=(20)255kN；BC段无载荷作用，力Q图1单个载荷作用时的剪力图和弯矩图偶M不影响剪力大小，剪力为常数即F=5kN；Q如图1所示，一悬臂梁受集中载荷F作用，D截面有集中力F作用，剪力有突变，突变值为20kN，即F=−=−520(