利用基本不等式解题时如何配凑定值

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1、第期高中数学教与学利用基本不等式解题时如何配凑定值田长青(江苏省扬州市第一中学，225001)在应用基本不等式求最值时，要把握不丁x-1，此时-1·x丁-1’=÷为定等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——值．等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出·．>1，．·．>0，．现错误．本文就运用基本不等式时，对已知条’件如何合理地“拆”“凑”，使“和式”或“积式”··y一+为定值这一个难点，谈几种常用的配凑方法．=一、“凑项”使积式为定值(一)+芝南+例1当>2

2、时，求函数)，+的=丁+丁++¨·最小值．≥3x-1x-11+-解析与—l_的乘积不为定值，无法≥寻+-=寻．直接运用基本不等式求解，但把“凑项”成一2后，(一2)·—l_=1为定值．当且仅当-1=志即=2时，等号又。．。>2，．‘．一2>0，亡>0．成立，故此函数最小值是寻．·评注利用基本不等式求几个正数和的．·．·Y=+=一2++2最小值时，通常要通过添加常数、拆项等方式进行构造条件，使其积为常数．≥2√(一2)·+2=4．二、“凑系数”使和式为定值当且仅当一2=—，即=3时，上式等号例3当

3、0<<时，求函数y：(8成立，故当=3时，函数)，十的最小—3x)的最大值．解析由0<<得，8—3>0，运值为4．用基本不等式求最值，必须和为定值或积为例2求函数，，+>)定值，本题为·(8—3x)的形式，但+(8—的最小值．3x)不为定值，注意到3x+(8—3x)=8，所以解析把“凑项”成一1后，(一1)只需将y=(8—3x)“凑系数”成y=÷‘。志不是定值，再把一1拆成+3x(8—3x)后就能运用基本不等式求最值．高中数学教与学2015年，，=(8—3)=了1·3(8—3)0)的形式，运用基

4、本不等式求出值域．评注形如Y=÷的函数可以十m≤÷(、J1了6’将分子配凑后或分母换元后将式子拆开，把当且仅当3：8—3x,即：时，上式等号函数化为)，=Ag()++c(>0,B>成立，故当=睾时，函数，，：(8—3)的最0)的形式，然后运用基本不等式来求最值，依然需要注意“一正、二定、三相等’’的条件．大值为．五、“整体代换”使积式为定值例6(2011年重庆高考题)已知。>0，三、“拆项”使积式为定值b>0，且。+b：2，则)，：+了4的最小值例4求函数)，：(>1)的值为——；域．解析把y：

5、1+4分子的常数用“。解析本题从形式上看无法运用基本不_等式，但可将分子拆成含有一1的项，再分离+b：2’’整体代换，或者将y：+T4化成拆成能运用基本不等式的形式．‘．‘>1，．。．一1>0，y=÷×2·(÷+)，把2换成n+6，再利故有y=用基本不等式求解．i=2：±三(=2±．’>0，b>0，且0+b=2，=一114n+b2r，z+b、’··Y十一b+—0nD：一1++3≥2+3，5b2a十+当且仅当一1：÷，即=1+时，上式一1≥寻+2√·2a：号．等号成立．当且仅当：2aa+6=2，即

6、。=了2所以，‘函数y=±(>1)值域为，，一16=÷[2+3，十。。1．时，Y取最小值÷．四、“换元”使积式为定值评注把常数用一个代数式进行整体代换，便转化为出现和或积为定值的情况，从而例5求函数y=(>1)的值可以运用基本不等式求解．域．六、“平方”使“和”为定值解析本题除了上述的拆项的方法，也例7已知口，b为正实数，3。+2b=10，可将分母换元，即设一1=t，把Y=求函数Y=a+6的最值．(>1)化成y=解析，利用()≤≠．二_(>0)的形式，再化+≤~／()+()=、：2．简成=(￡>

7、0)=¨5+3(￡>￡解析2条件与结论均为和的形式，设法．14．第6聊高中毅学教与学巧用圆锥曲线极坐标方程解题姜文(贵州省贵州师范大学数学与计算机科学学院，550001)圆锥曲线的焦点弦问题是高考考查的热，L／点，也是重点，这类问题运算的繁琐使得考生，P望而生畏．圆锥曲线的极坐标方程给解决这∥P一＼Ar，一类问题带来方便，下面举例说明，旨在抛砖，引玉．一图1图2、圆锥曲线的统一极坐标方程如图1，以定点0为极点，使极轴0所在若建立如图2的极坐标系(／_POx为点P的直线垂直于定直线Z且的反向延长线

8、交z的极角)，类似于上述的方法可得圆锥曲线的于点A．设P(p，0)为圆锥曲线上的任意一点，统一极坐标方程为：贝ⅡIOPI=p，／POx=0，IPI=IOAl+pcos0=P+pcos0，根据圆锥曲线的统一定义P=②有其中P是焦点到准线的距离，e为离心率，。一!一’焦点位于极点，极轴是圆锥曲线的对称轴．当01时，②式表示以左焦是焦点到准线的距离，e为离