配凑思想与基本不等式结合解证不等式

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1、配凑思想与基本不等式结合解证不等式不等式问题一直以来都是一个重要内容，利用基本不等式和处理则是这类问题的一种最简单，最重要的思想方法。但在平时的处理过程中发现直接利用他们往往会出现这样，那样的错误，特别是取等条件的把握。为了避免这些错误，达到简单灵活的处理，本文着重谈谈如何把配凑思想与基本不等式结合起来处理不等式的几类问题。1整式不等式中配凑基本不等式处理例1已知，求的最小值。分析：要利用基本不等式处理只有将转化为相关的式子，这就要在基础上添加一些项，并且在添加过程中还要注意不等式等号成立的条件。解：观察知形式一致，猜想，取最小值。由（当时取等）（当时取

2、等）（当时取等）得又所以当且仅当时取等。例2已知求证：。解：观察条件和结论的结构知形式上一致，猜想当时不等式取等。由（当时取等）（当时取等）……（当时取等）从而（当且仅当时取等）所以即证毕。例3若，求的最大值。分析：显然形式上不一致，不能猜想时取最大值，将条件变形：即所以形式一致，此时猜想当时取最大值。解：由（当取等）（当取等）得即当时取等。1分式不等式中配凑基本不等式处理例4已知且求的最小值及的值。分析：在分式不等式中一般都是进行换元转化，将分母变成单一的简单的未知量，再结合基本不等式处理。解：由得可令所以当且仅当即时取等。所以当原式的最小值为例5(0

3、7重庆理)若a是1+2b与1-2b的等比中项则的最小值A.B.C.D.分析：a是1+2b与1-2b的等比中项所以即结合知a与2b形式上一致。可猜想a=2b时取最大值。解：要求的最大值可设令得，而当取等，又由前猜想所以可取故即所以即选B例6（《数学通报》2005（8）数学问题1567）设求的最小值。解：令所以带入条件有即由的一致性，猜想当时取最小值。由==由当时取等可取即=故==由前知==当时取等所以当时取最小值。3无理不等式中配凑基本不等式处理例7已知正数a,b,c满足a+b+c=1求的最大值.分析：由a,b,c形式上一致，猜想当a=b=c时取最大值解：

4、先换元转化为整式不等式令，，所以，，问题转化为：若且m,n,p都大于0,求的m+n+p最大值猜想当时m+n+p取最大值由当时取等当时取等当时取等所以即得当时取等。例8设且求证：解：利用换元令，，……，所以,,……,问题转化为：对且证明：猜想当时取等构造均值不等式：当时取等可取由当时取等当时取等……当时取等全部相加有即即即当时证毕。从上可以知道，不等式问题往往都可以使用最基础，最根本，最简单的基本不等式去处理，在处理过程中但要特别注意取等条件的把握，所以在解题过程中一定要多理解，多思考，多总结。