巧用函数思想解证不等式2

《巧用函数思想解证不等式2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、巧用函数思想解证不等式洋县第二高级中学魏昌华函数是中学数学的重要内容，常言说“数学以函数为纲，数形结合”。这充分说明函数在数学中的地位，函数思想涉及到中学数学的所有内容，用函数来解证一些不等式，不仅能使问题得到快速解决，而且能使我们享受到解题的乐趣和函数的魅力.一.解指数不等式、八丿例1.解不等式2X>-x+1.一—J分析：这是含指数的不等式，不能用单调性转化求解，o考虑引入函数，利用函数的图象求解.解：设yi=2x,y2=-x+l,在同一坐标系中分别画出它们的图象，由图象知：当x>0时，yi>y2,A2X>—x+1的解集是(

2、x

3、x>0}.【点评】对一些含有指数、对数、三角的不等式，如果不能直接求解,可引入函数，利用函数的图象求解显得非常简单.二.解高次不等式例2.解不等式(x2-2x+2)3+2(x-2x+2)f(x)/.x2-2x+2>x,即x2-3x+2>0解之得l

4、l

5、数，用函数思想化解高次不等式为解二次不等式,可使问题简单化，在平时的学习中注意运用.三•解绝对值不等式例3•解不等式

6、x?-3x+2

7、>x2-3

8、^

9、+2.分析：初看此题很难入手，然而细看会发现左右是我们熟悉的函数f(

10、少和

11、f(x)Yiy2-20所以可设函数y尸Ix2-3x+2

12、,y尸卜

13、2-3同+2,借助函数图象求解.解：设yfIx2-3x+2

14、丫2二

15、3冈+2,在同一坐标系内画出它们图象,(其中y.是右面抛物线在x轴上方的部分，y2是y轴左侧及其关于y轴对称的部分).由图知原不等式的解集是0)U(1,2).【点评】观察

16、函数图象只看力在y2上方的图象所对应的x取值范要求画准图形观察准确，特别是两个图象的交点坐标。这种以形助数的做法，是函数数形结合的重要体现.四•证明不等式例4•证明：当x>0时，x>In(x+1)・分析：初看此证明无法入手，常规证法都无效，若引入函数，用函数的最值处理将会柳暗花明，也简单易行.证明：设f(x)=x-In(x+1)(x>0),由导函数/(x)=l——=一二>01+x1+x・•・原函数在［0,8)上为增函数，f(x)min二f(0)二0・/.f(x)>0./.x-ln(x+1)>0即x>In(x+1).【点评】巧设

17、函数，用导数求出函数的最值，利用函数最值的意义证明不等式，这是证明对数、指数不等式常用方法.五•求参数值例5.设不等式log；a+(x-2)log2。一兀+1a0对x丘［~2,2］怛成立•求a的取值范围.分析：构造函数y=f(x)=(log2a-l)x+(log2a-l)2,利用函数图象形象直观得到y>0恒成立的充要条件，从而求出a的范围.解：设f(x)=(log2a-l)x+(log2a-l)2,当a二2时,y二0不符合题意，所以y=f(x)是关于x的一次函数，当xe［-2,2］时，y>0恒成立的充要条件是：卩(-2)>0=

18、

19、log^-41og2«+3>0.他"〉3或1喝<1［/⑵>0〔呃G-1>0・・仏2a>1或1理a<-1••0vci—>8•2【点评】把不等式恒成立问题转化为求函数的最值，是一种常用方法,也是函数性质的具体体现，又是高考的热点•在此以一孔之见，能起到抛砖引玉.