巧用数形结合思想解二次函数中的问题

《巧用数形结合思想解二次函数中的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、巧用数形结合思想解二次函数中的问题摘要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来。通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”两个方面，己经成为当今数学的特色之一，它使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。它兼右数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。本文通过例题分析了解“数形结合思想”来解决二次函数中的问题，因为此类问题的特点是若仅进行代数推理，亦能解决，但运算繁、技巧强、难度大若以形助数，则运算简、技巧弱、难度小。关键词：数形结合思想二次方程和不等式二次函数由

2、于初中的“二次函数”的问题，历年来都是中考的热点，因此，我从用“数形结合”思维思想来谈一谈这些问题。:形结合思想概述法国著名的自然辨证哲学家恩格斯普经说过“数学是研宄现实生活中数量关系和空间形式的数学”。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面。借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大

3、开拓我们的解题思路，力研究和探求数学问题开辟一条熏要的途径.因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法.而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法。有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学.“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面.一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样.有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万

4、事休。切莫忘，儿何代数统一体。永远联系.切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致.“数形结合”作为数学中的一种重要思想，它在初、高中都是解决许多问题得重要思想，特别是在高中数学中占有极其重要的地位，关于这一点，我们只要翻阅近年高考试卷就可以一目了然。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛.大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，与此同时“数形结合”思想在二次函数中的应用在中、高考命题中解决问题也成了必不可少的部分，也是平时学习二次函数解决应用问题的一个重点。巧妙运用“数形结合”思想解题.可以化抽象为具体，达到事半功倍的效果二

5、、二次函数与系数之间的关系(1)二次函数的一般式是：y=ax+bx+c,其中a关0,此函数的对称轴是22a,顶点坐标是2a4a。(2)函数式中的参数a的正负决定开口方向，当a〉0时，开口向上，在对称轴右边的随函数图象y随x的增大而增大，左边的图象y随x的增大而减小；当a<0时，开口向下，在对称轴右边的函数图象y值随X的增大而减小，左边的图象y随X的增大而增大，整个图形是对称的。然而a的大小决定了二次函数的幵口度的大小，a越大开口度越小，a越小开口度越大。(3)与x轴交点的情况。当y=0时，是二次方程，当△〉()时，则此二次函数都与x轴有两个交点；当时，二次函数与x轴有且只存一个交

6、点；当八<0时，二次函数与x轴没有交点。(4)二次函数的表达式还有以下几种：_b(-b,4ac-b2)=交点式：y=a(x-xl)(x-x2)，其中a^O，xl、x2是该函数y=0是的两个根；顶点式：y=a(x_k)+h,其中a矣0，而(k，h)是二次函数的顶点坐标。x三、从方程的“数”到函数的“形”，以形象定性抽象的内容例1:己知方程1x2-4x+31=m有4个根，则实数m的取值范【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决解：方程1x2-4x+3

7、=m根的个数问题就是函数y=

8、x2-4x+3

9、与y=m函数图

10、像的交点的个数。如图所示：作出抛物线y=x2-4x+3的图像，将x轴下方的图像沿x轴翻折上去，2得到y=

11、x-4x+3

12、图像，再作直线y=m如图所示。由图像可以看出，抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标是（2，-1），经由x轴翻折后变成（2,1），所以当O〈m

13、x

14、—2

15、x

16、的单调区间0，作出<0x22xx+-x=xx

17、-2

18、x

19、=x2_2x解：yf函数的图像如左图所示：由图像可知，函数的单调递增区间力）