巧用数形结合思想解题

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1、巧用数形结合思想解题内蒙古头市六中014000摘要：数与形巧妙结合，即根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义。可运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形;或运用几何知识通过对图形性质的研宄，去解决数量关系。关键词：数形结合题设数量关系数形结合是数学学科的一大基木思想，它与函数思想、方程思想紧密相连，是富有数学特色的信息转换。它不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法。所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系乂揭示其几何意义，使数量关系和

2、几何图形巧妙结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路。一是运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形；二是运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。下面通过具体的例子揭示数形结合的运用：例1:己知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列结论中：（1）a+b+c<0，（2）a-b+c>0,（3）abc<0，（4）b=2a。正确的个数是：（）A.4B.3C.2D.1解：从图形上看，抛物线开口向下，所以得出a<0;由抛物线与y轴的交点在正半轴，所以得出c>0；

3、由抛物线的顶点的横坐标为-1,即-b/2a=-l,得b=2a,所以得出abc>0o当x=-l时，y>0,即a-b+c>0;当x=l时，y>0,即a+b+c<0。例2:点A（a,b）、B（a-1,c）均在函数y=l/x的图象上,若a<0,解：如图，函数y=l/x的图象在每一象限内y随X的增大而减小。...a-l<a<O,∴b<Co例3:a为何值吋，不等式a≤x2+ax+5≥4恰好存一个解？分析：此题若采用解一元二次不等式的常规解法相当麻烦，但如果能

4、从y=x2+ax+5的图象入手考虑，问题就简单多了。解：如图，y=x2+ax+5是开UI向上的抛物线，如果抛物线的顶点在直线y=4的下方，则原不等式有无穷多个解；如果此抛物线的顶点在直线y=4的上方，则原不等式无解；当且仅当抛物线的顶点落在直线y=4上吋，则原不等式恰好冇一个解。抛物线的顶点为(-，5-)，故当5-=4，即a=2或a=-2吋，有一解。例4:不等式Iog2(-x)<x+l的解集是。分析：此不等式没有常规解法，只有把不等式两边看成两个函数，通过图象的比较求解。解:令y=log2(-x＞、y=x+l在同一直角

5、坐标系中，作出这两个函数的图象，我们发现两个图象的交点是(-1,0)，在(-1,0)的右侧y=log2(-x)的图象在y=x+l的图象的下方，即Iog2(-x)<x+l的解是x>?lo例5:若方程lg(-x2+3x-m,=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。分析：将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。解：原方程变形为，即：设曲线yl=(x-2)2,x∈(0,3)和直线y2=l-m，图像如图所示。由图可知:①当l

6、-m=0吋，有唯一解，m-1。②当l≤l-m<4时，有唯一解，即-3<m≤0。∴m=l或-3<m≤0。此题也可设曲线yl=-(x-2)2+1，x∈(0,3｝和直线y2=m后画出图像求解。一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个X值）。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线

7、的代数特征，对数学题0中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系,由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。在上面的例子中，我们不难发现，“数”与“形”这两块数学领域的基石巧妙地结合在一起，在解题的冋吋，又有一种创造性的美感。在选择题、填空题中运用数形结合往往事半功倍。当然，在我们的学中也用这种思想去分析、讨论，会更好地理解、掌握数学教材的知识点，建立形象的知识体系，达到融会贯通的意境。