巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题

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1、巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题文/郑希莺【摘要】随着新课改的推进，函数的综合问题仍是历年高考的重点和难点之一，特别是函数与导数大题中经常出现有关函数不等式的证明，用于考查学生的推理论证及运算求解能力。通过对历年试题背景的研究发现了高等数学知识中泰勒公式的身影，本文就泰勒展开式在解决函数不等式的相关问题进行剖析。.jyqk)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0。解：（1）略。（2）当m≤2,x∈(-m,+∞)时ln(x+m)≤ln(x+2)故只需证当m=2时f(x)>0即ex>l

2、n(x+2)显然，由泰勒展开式易得ex≥x+1（当且仅当x=0时取“=”）ln(x+2)≤x+1（当且仅当x=-1时取“=”）∴ex≥ln(x+2)即当m≤2时，f(x)>0。说明：显然利用泰勒展开式的适当放缩与变形来解决这样问题非常轻松。二、深入探索例3、（2013年辽宁高考数学理科第21题）（1）证明：①要证f(x)≥1-x,x∈[0,1]，即证(1+x)e-2x≥1-x说明：上述的证法主要采用ex的泰勒展开式进行适当的变形与放缩，使得整个解答过程自然流畅，当然本题也可采用构造函数法利用导数来证明。【分析：对于式子中含有e-2x，cosx之类的超越不等

3、式恒成立问题，如果直接采用构造函数法求导难度较大，最直接的想法是如何将超越不等式通过泰勒展开式的放缩转化为代数不等式来处理，因此容易想到从cosx的三阶泰勒展开式入手进行放缩。】所以当a≤-3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立。另一方面，当a>-3时综上所述：实数a的取值范围是(-∞,-3]。说明：本题也可采用第一题的结论进行转化，再通过适当的构造函数并利用导数进行转化来求解，解决过程可谓是一波三折。而利用泰勒展开式来解决此题那就会有高屋建瓴之势，所有的过程演绎将会有一种水到渠成的感觉。三、解法应用例4、（2014年全国卷Ⅰ（理21））(1)求a,

4、b；（2）证明：f(x)>1。例5、（2013年清华大学等“华约”自主招生考试）(1)求证：当x>0时，f(x)<0；总之，从以上具体实例发现，利用泰勒展开式来解决高考函数中的有关不等式问题主要是实现将超越不等式向代数式不等式的转化，既简化了运算过程又为高考函数的不等式题的解法注入了新的活力并展现泰勒展开式的魅力。.jyqk].北京:高等教育出版社，1983[2]徐国君.例谈泰勒展开式及其应用—数学教学通讯[J].数学教学通讯，2012[3]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解（数学卷）[M].陕西人教出版社，2013（单位：厦门海沧实验

5、中学）