函数泰勒展开式的应用【毕业论文】

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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学函数泰勒展开式的应用15目录1、两种余项的泰勒公式……………………………………………………………………12、常见函数的泰勒展开式…………………………………………………………………33、泰勒公式的应用…………………………………………………………………………33.1利用泰勒公式求极限3.2利用泰勒公式证明不等式3.3利用泰勒公式判断级数和广义积分的敛散性3.4利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点3.5利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式3.6利用泰勒公式进行近似计算和误差估计3.7利用泰勒公式

2、求高阶导数在某些点的数值3.8利用泰勒公式求行列式的值15函数泰勒展开式的应用摘要:文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆,本文针对泰勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,函数的凸凹性,拐点,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.关键词:泰勒公式；极限；敛散性；凸凹性；拐

3、点对于一些比较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.多项式函数是最为简单的一类函数，它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近.英国数学家泰勒（Taylor，1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明:具有直到阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达.本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近

4、似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆，对于超越函数计算具有不可替代的作用.本文主要叙述其应用，作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.本文的主要内容是介绍应用，通过大量一元函数的例题对泰勒公式的作用做一个归纳.1两种余项的泰勒公式定义1.1若函数在存在阶导数，则有(1)这里为皮亚诺型余项，称(1)在点的泰勒公式.15当时，（1）式变成，称此式为(带有皮亚诺余项的)

5、麦克劳林公式，定义1.2若函数在某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数，则（2）这里为拉格朗日余项，其中在与之间，称（2）为在的泰勒公式.当时，（2）式变成称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.1常见函数的泰勒展开式..153泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求极限无穷逼近的严格化，就是极限的刻画。为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.例1求分析此为型不定式，若直接应用罗必达法则求极限，就会发现计算过程非常复杂.由于分母是x的四阶无穷小，可考虑利

6、用泰勒公式将分子展开.由无穷小的性质，分子的展开式只要保留到x的四阶无穷小即可.解故从例1可以看出，利用泰勒展开式代替某些函数，可以在求极限以前化简表达式，然后通过比较无穷小的阶求极限.需求强调的是，展开式的项数的确定要考虑到分子与分母的无穷小的阶数，化简表达式时要注意无穷小的计算.例2求极限.15分析此为型极限，若用一般方法求解，则很麻烦，这时可将和，分别用泰勒展开式代替，则可简化此式，也可以用罗比达法求解.解法一由于是解法二3.2利用泰勒公式证明不等式3.2.1泰勒公式在证明积分不等式中的应用泰勒公式在定积分不等式方面应用

7、的关键在于（1）确定在哪一点将函数展开（2）将函数展开到第几项为止.要解决好这两个关键，其中蕴含着一些技巧.例3设在上单调增加，且，证明15.分析（1）因为在不等式右边出现了与，提示我们选择分别展开.（2）已知，所以最多只能展到含二阶导数项为止.证明对在点处的泰勒展开式为：其中在与之间因为，所以（1）令分别代入（1）并相加得（2）对（2）式两边同时在定积分得即故.3.2.2泰勒公式在证明代数不等式中的应用例4设若，则有15证明1）易证当为正整数时，有2）在这里我们只证当时的充分性，由泰勒公式知（3）不妨设，令为了保证级数收敛，

8、先考虑的情形，将分别代入（3）得（4）这里，由（4）得（5）由知，当时，(6)由（5）和（6）及1）知，当时，只需证若结论显然成立；当时，则有又15（7）令代入（7）即得结果.其必要性及其余的结论均可通过1）与2）和代数运算方法得到.泰勒公式在不等式证明中的应用还有很多，在这