巧用柯西不等式证不等式竞赛题

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1、维普资讯http://www.cqvip.com44数学通讯2006年第2O期巧用柯西不等式证不等式竞赛题蒋明斌(四川省蓬安中学，四川637800)设m。b∈R(i一1。2。⋯．)。则由柯西不等式有’(口}+口l+⋯+口：)(b}+bl+⋯+b：)去√‘+。√+‘√+⋯．≥(口lbl+口2b2+⋯+口b)。(1)当且仅当且6i—(i一1。2。⋯。)时。(1)式+．√取等号．这就是著名的柯西不等式。它还有如下等价

2、。>0(i一1。2。⋯。)。则鲁+譬+⋯+磬>若㈤一√=孚。当且仅当且一a2⋯．一时。(2)式取等DlD2D∑、所以·一号．用这一形式处理分式要方便些．柯西不等式是处理不等式问题的重要工具．有≤·+(+1)一丁2n+1·．些证明不等式的题目表面上看与柯西不等式无关。然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应『=用柯西不等式加以解决。当然具体如何变形改造是同理．有L．=-一、／Y2关键．也是难点．这往往需要经过观察、直觉、猜测、≤2n+11·推理等．本文从近年来各种数学竞赛中选取了几道，证明不等式(或求最值)的题目。通过巧妙变

3、形后应用柯西不等式加以解决，证明过程简单明快．∑、例1(2006年中国数学奥林匹克国家集训队鼻1J_一~／Y一考试题(三)第二题)设已知。。：．．．·。是正数。且满足∑曩=1。求证：≤√二。相加并应用柯西不等式，有ci-Ic志≤．()(客)证明设1+f—Y。则—一1。Y>1(：1．2．．．·。”)．∑Y一n+1．是原不等式等价于ilc，ill一c孛≤㈣≤·维普资讯http://www.cqvip.com2006年第2O期数学通讯45b。)(6。+c。)(c。+a。)、∞62+64c2+~4a。+a264+62+da。≥6a。6

4、2c2，由均值不等式知，后一不等式显然成立．因而原不等式成立．由柯西不等式的∑等价形式(2)有。注本题右边的不等式证明难度较大．巧用柯一2≥’西不等式给出的证明十分简捷．例3(2006年中国数学奥林匹克国家集训队考试(四)第2题)：设．Y。>0．+y+一1．求所以．(砉=)(客)证：≤丽xy再+。丽、yz+。焘≤22证明由柯西不等式有．丽’(_；：+．一+_一)z即(3)式成立．故原不等式成立．Jxy+yzJyz+Z．X√zz+xy注本题命题者提供的解答用的三角代换．过一(兰++)z程复杂且不易想到。不如用柯西不等式简洁明快．

5、0z+z+z0z+y例2(2004年中国西部数学奥林匹克第八题)一[而’+·求证：对任意实数a．6．c都有·<南++≤㈤—J(y+)(+)+厮’~／(甍+)(+)]J证明左边不等式易证．下面证右边不等式，≤2++『由柯西不等式有+研+]c++一z[丽+研+—f-’+[·1苇+’而c。(+)(+)j‘因此．要证原不等式只需证：≤2(+62+c2)f-z[丽+丽+b．fz]．十十l‘]≤÷因此．要证式(4)右边不等式只需证∞4[。Y(Y+)+Y。z(z+)+。x(x+)]≤(+)(+)(+)(+Y+)4(+f-∞Y+xy+y3+y

6、z++一2(x。Y。++]≤号+Y。+)≥0∞4(口。4-b。+c。)[口。(6。4-c。)4-b。(c。4-a。)4-c。(口。∞(—)。+yz(—)。+zx(z-)。≥0．4-b。)]≤9(a。+b。)(6。+c。)(c2+a。)后一式显然成立，故原不等式成立．∞8(口0+60+c0)(口060+62c0+c0a0)≤9(口0+注本题命题者给出的证法是通过利用排序维普资讯http://www.cqvip.com46数学通讯2006年第2O期不等式证明原不等式的加强而证得的．赢F+‘志、+‘南、‘㈤⋯例4(2005年全国高中

7、数学联赛加试题2)设证明由柯西不等式的等价形式(2)．有正数a，b，c，z，Y，z满足cy+bz—a．az,+口一b．如a．D．f‘‘-~-ay函数，(x,y,z)一南++南、J—czq-—8abn2的最小值．一-----_--------—-----一+n、+南解用∑表示循环和，由条件得．b(az+口)(n+b+c)。≥+c(bx+ay)一a(cy4-k)一b。4-c。一a。．即2box一。_6了’6。一所以z一丢，又由柯西不等式，有n+b+c同理一一ca口D=·、+·、于是+√c·~／f3+8abcf(x,y,z)一∑南≤

8、(a+b+c)(n+b+f3+24盘6c)．于是，=∑斫4b0c0+25c(60+c0—a0)a．D．C’‘≥∑举(5)＼(n+b+c干F干’、[∑(6。+c。一a2)]。，／4∑6。c。+∑(6。+c。)(6。+c。一n。)所以，要证(7)式只需证：：±=(n+b+f3+2