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1、第11卷第4期 宁德师专学报(自然科学版)Vol111No141999年11月JournalofNingdeTeachersCollege(NaturalScience)Nov.1999 文章编号:1004-2911(1999)04-0310-03X利用柯西不等式巧解竞赛题林金平(福建省永春县第三中学,福建永春 362609) 摘要:归纳和总结出柯西不等式在中学数学竞赛中的各种应用.关键词:柯西不等式,数学竞赛,解题中图分类号:G633.6 文献标识码:B柯西不等式:设有非零实数组a1,a2⋯an及实数组b1,b2
2、⋯bn,则有(a1b1+a2b2+⋯+2222222anbn)≤(a1+a2+⋯+an)(b1+b2+⋯+bn).等号当且仅当bi=λai(i=1,2,⋯n)时成立.柯西不等式是重要不等式,其相关的竞赛题频频出现,显示其独特地位.创造条件利用柯西不等式,首先要能对照柯西不等式的形式,合理地构造两个数组,让它们分别扮演a1,a2⋯an;b1,b2⋯bn的角色.本文就应用柯西不等式解竞赛题的技巧举例如下.1 巧添项有时在求证不等式不能直接应用柯西不等式时,添上适当的常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式.例1 非零实数a1,a2⋯an满足a1+a2+⋯+an
3、=1a1a2an求证y=++⋯有1+a2+a3+⋯+an1+a1+a3+⋯+an1+a1+a2+a3+⋯+an-1最小值并求之(1982年西德国际奥林匹克数学竞赛题目).ai222解 因+1=⋯,(i=1,2,⋯n)故y+n=++⋯+1+a1+a3+⋯+an2-ai2-a12-a22,注意到(2-a1)+(2-a2)+⋯+(2-an)=2n-(a1+a2+⋯+an)=2n-1所以 2-an11111(2n-1)·(++⋯+)=[(2-a1)+(2-a2)+⋯+(2-an)](+2-a12-a22-an2-a12-a2111122+⋯+)≥[2-a1·+2-a2
4、·+⋯+2-an·]=n,于是2-an2-a12-a22-an222n2nn1有y+n≥,y≥-n=,等号当且仅当a1=a2=⋯=an=时,从而y有最2n-12n-12n-1nn小值.2n-12 变结构有些不等式不具备应用柯西不等式的条件,必须进行结构改变.a+bb+cc+a例2 设a,b,c是正实数,求证a·+b·+c·≥a+b+c(1992年友谊a+cb+ac+b杯国际数学竞赛题目).X收稿日期:1999-06-15作者简介:林金平(1963-),男,中学1级教师第4期 林金平:利用柯西不等式巧解竞赛题 ·311
5、·a+bb+cc+aabbccaacab证明a·+b·+c·≥a+b+cZ++≥++a+cb+ac+ba+cb+ac+ba+cb+abcZab(a+b)(b+c)+bc(b+c)(c+a)+ca(a+b)(c+a)≥ca(a+b)(b+c)+ab(bc+b222333222bca+c)(c+a)+bc(a+b)(c+a)Zab+bc+ca≥abc+abc+abcZ++≥a+b+cabc此式由柯西不等式即可证得.原命题成立.3 巧乘项由于柯西不等式有3个因式,大多数题中只有2个因式,为了应用柯西不等式,需巧妙地乘上一个因式,目的是要出现证明题的因式,乘上的因式和
6、为定值,再出现的因式也是定值.nnna2k1例3 已知a1,a2⋯an;b1,b2⋯bn为正实数且满足6ak=6bk,求证6≥k=1k=1k=1ak+bk2n6ak(1991年亚太地区数学奥林匹克竞赛题目).k=1nnna2k证明 在要证的不等式左边乘以6(ak+bk),由柯西不等式得6(ak+bk)·6≥k=1k=1k=1ak+bknannnnnk22(6ak+bk·)=(6ak),由题设条件得:6(ak+bk)=6ak+6bk=26ak,所以k=1a+bk=1k=1k=1k=1k=1kkn2na2(6ak)nkk=116≥n=6ak.k=1ak+bk2k=
7、126akk=14 拆常数这是应用柯西不等式的常用技巧.a1k例4 设k≥1,ai(i=1,2⋯n)为正实数.求证A=()+a2+a3+⋯+ana2kakkn()+⋯+()≥k(1989年蒙古国际数学奥林匹克a3+a4+⋯+a1a1+a2+⋯+ak-1(n-1)竞赛题目).sss证明 令s=a1+a2+⋯+an,在k=1时,A=++⋯-n,考虑到(n-s-a1s-a2s-an221)s=ns-(a1+a2+⋯+an)=(s-a1)+(s-a2)+⋯+(s-an)及n=(1+1+⋯+1),有1111[(s-a1)+(s-a2)+⋯+(s-an)]·[++⋯+]≥
8、[s-a1·+s-a1s-a2s-an
