利用向量巧解平面几何竞赛题.doc

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1、利用向量巧解平面几何竞赛题 “平面向量”已成为高中数学教科书中独立成章的内容，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的内涵。由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，既能反映对象间的数量关系，又能体现其位置关系，直观性好有较大的自由度.平面几何竞赛题中有的解法是很繁琐的且不容易想到，若用向量法解之，则比较简便，也无需添加辅助线，不仅降低了难度，而且简便易懂。本文用到下面三个结论：设O为坐标原点,记=A,

2、

3、=

4、A

5、=A-B.①若点P在线段AB上，则P=tB+(1-t)A.②②      设P是内任意一点，直线AP、BP分别交BC，CA于A

6、1，B1若则（《数学通报》问1384）③设G，O，H，I分别是的重心，外心，垂心与内心.若以O为原点有：H=A+B+CH=3G只证明②证明：以B为原点设则即得一、解与角度有关的问题例１（cruxproblem2333）D，E分别是的边AC，AB上的点，DE不平行BC，F,G分别是BC，ED上的点且求证：GF与∠BAC的平分线平行.证明：以A为原点设E=pB,D=qCp,q∈(0,1)则又BE=tCD故(1-p)

7、B

8、=t(1-q)

9、C

10、F-G=又与∠BAC平分线平行命题得证.例2（1990IMO预选题）三边长互异，G,I,H分别是其重心

11、，内心，与垂心.求证：∠GIH>900证明：以的外心为原点.只需证：又即证即>0不失一般性设则上述不等式成立.命题得证.例3.（MathematicsMagazineproblem1506）设I，O分别是非等边的内心，外心.证明：∠AIO900当且仅当2ab+c.证明：以的外心O为原点.只需证：又　即证bc(2a–b-c)0　即2ab+c命题得证.二、解与比值有关的问题例4（IMO32-1的推广）　设P是内任意一点，直线AP，BP，CP分别交BC，CA，AB于A1B1C1.证明：证明：以B为原点 设由Ceva定理得由②得有即证因为所以.

12、等号当且仅当即P为的重心时成立几个结论：（1）++=2（2）++6上述等号当且仅当P为的重心时成立. 、、这三个比值中至少有一个2，并且至少有一个2.（3）++=1等号当且仅当P为的重心时成立.