利用向量巧解高中数学题

《利用向量巧解高中数学题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、利用向量巧解高中数学题　　【摘要】本文就空间向量在角和距离求解中的应用，来说明向量法在立体几何的解题中的可取性。　　【关键词】向量；向量法；角和距离的求解　　在高中数学的许多立体几何问题如果用常规的方法来解题的话，对许多同学来说是非常棘手的。难找的思路，密匝的辅助线，繁杂的计算，令不少的同学觉得头疼。借助向量工具，可以对一些传统解法中较为烦琐的问题加以定量化，从而降低了思维难度，增强了可操作性，使学生对立体几何更容易产生兴趣。　　一、角的求解　　角的求解在立体几何中占据一个举足重轻的位置，但对不少的同学，解决这一类问题并不是易事，新教材引入空间向量的概念

2、以后，便使这类问题思路清晰明确，运算简便起来。　　高中数学第二册下给出了向量?a=（x1，y1，z1），则　　①　　（1）利用向量求二面角。不需作出二面角的平面角，直接依据二面角定义求解。设二面角α-L-β大小为θ，平面α，β的法向量分别?a，?b，则θ=或θ=π-。　　在空间直角坐标系中，先求出?a、?b的坐标，再利用公式①求出，判断θ与的关系，即可求二面角α-L-β的大小。6　　例1：已知平行六面体中，底面ABCD是边长为m的正方形，　　侧棱AA1的长为n，且∠A1AB=∠A1AD=120°　　求二面角A1?AB?D的余弦值。　　解：作A1E⊥AB交

3、AB延长线于点E，A1E与AD所成的角是二面角A1?AB?D　　=+　　=（+=+　　=?=cos120°=-　　∠　　∴cos===　　此题传统解法为，先证BD⊥面ACC1A1，然后利用三垂线定理作出二面角，再归结到三角形中求出余弦值，思路繁琐不易找，且计算量大，容易出错，而用向量法思路简单清晰，且避开庞大的计算量，易解，省去不少的麻烦，所以向量法在解决这类问题成为首选。　　（2）向量求异面直线所成的角。设两异面直线a，b所成的角为θ（0≤θ≤）再设、分别在直线a、b上或∥a，∥b，则当为锐角（或直角）时，θ=当为钝角时θ=π-，在空间直角坐标系中，求

4、出、坐标，利用公式①，便可求出，利用θ与关系可得θ。　　例2：四棱锥P―ABCD的底面是梯形ABCD，它在空间直角坐标系中的位置如图五所示，若设AB=4，CD=1，AD=2，PD=，求异面直线PA、BC所成角。6　　解：分析在一个平面里作出两异面直线的平行线，然后归在一个三角形中，求出它们的夹角，这个思路比较难找，而且牵涉比较大的计算，比较麻烦。这时我们可以利用求向量夹角的方法来处理异面直线所成角，这个方法更加简单。　　依题意，得A（2，0，0）B（2，4，0）　　C（0，1，0）P（0，0，），　　，故直线PA、BC所成角为。　　二、巧用向量求点面间的

5、距离或异面直线间的距离　　异面直线间的距离虽可以通过定义求解，但用向量的射影长解决将更加快速简洁。　　1.向量法求点到平面的距离　　设平面α外一点A到α距离d，α的一个法向量为，取α的一条斜线段AB，B为斜足，则d===　　在空间直角坐标系中，求出，坐标，即可求d。　　2.向量法求异面直线间的距离　　在两条异面直线a，b上各取一点E，F设a，b的公共法向量为?n，公垂线段为AB，则?n∥，且cos=所以，　　=，在空间直角坐标系中，求出?n，的坐标就可求出a，b间距离。　　注：为了求两异面直线a，b的公共法向量?n的坐标，可设?n=（x，y，z）　　分别

6、在a，b上取已知向量、，则由?n?=0，?n?=0得到含x，y，z的两个方程，令x=0或者1求出y，z得到?n的坐标。　　例63：如图，已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AB=1，A1A1=2，求异面直线BD1与CC1之间的距离。　　解建立直角坐标系，以D为坐标原点，D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，1，2）D1（0，0，2）　　=（-1，-1，2），=（0，0，2）　　设?n=（x，y，z）是与BD1，CC1垂直的向量，则　　{?n?=0即{-x-y+2z=0　　?n?=02z=0　　∴z=0，y=-x，则?n=（x

7、，-x，0）又=（-1，0，2）　　∴BD1与CC1之间的距离为　　d===　　即BD1与CC1之间的距离为。　　例4如图，在正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1　　（1）求点E到平面ACF的距离　　（2）求异面直线CF、BE的距离　　解：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）D1（0，0，5）E（0，0，1）F（2，2，4）　　（1）分析：求点到平面的距离，一个方法是找出点在平面内的射影，然后解相应的直角三角形，另一个方法

8、是利用等积法，这两种方法都比较困难，特别是找点在平面内射影位置，利用法向量可以大