利用复数巧解数学题

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1、利用复数的几何意义巧解复数题林奕生南平市高级中学(353000)npgjzx@126.com复数与几何关系密切，复数的各种几何意义是沟通数与形的一座桥梁。对于复数问题，在探索解题思路时，注意复数的图形特征，适当运用数形结合的思想方法，充分发挥形象思维的优势，以数思形，数形渗透，两者交融，常使问题变得简单明了，直观形象，得以巧解。利用形数思想巧解复数题的关键是，对涉及复数的模、辐角的主值、复数的各种运算，或者涉及复数对应的点、向量各种变换的问题，选取适当的切入点，对它们作相应的几何解释，以此为线索探求思路，

2、以求妙解。在下列各例中，我们正是找到了关键，结合图形，巧妙分析，其解法治有一定的典型性、新颖性。例1、设，，且，求：的最大值和最小值。解：，如图1，由上式可知点是以原点为圆心，4为半径的圆劣弧CD上的动点，而，即是动点到定点A（0，2）的距离。于是当点处于点B（0，4）时，=2，当点处于C（0，-4）时，=6DA图1C-4O4B例2、已知复数z满足，求的最小值。解：表示以-3为端点，且与X轴正方向的倾角为的一条射线，那么求的最小值就是求这条射线上的点-6与两点之和的最小值。由于-6与两点的连线与射线有交点

3、（如图），所以-6与两点间的距离即为所求。易得-6与间的距离是，所以的最小值是例3、复数满足，求与的取范围。解：如图，表示以为圆心，为半径的圆，从图中可直观地得到；过O点作⊙C的两条切线，切点分别为M、N，则，，从图中可直观得出的取值范围是6例4、复数z在复平面内对应的点为z，将点Z绕原点按逆时针方向旋转，再向左平移1个单位，向下平移1个单位，得到点，此时点与Z恰好关于原点对称，求复数z。解：依题意，变换后的复数（如下图）由此得例5、已知复数满足，且为纯虚数，求复数。解：，在A（-1，0）与O（0，0）的

4、连线的垂直平分线上，又是纯虚数，所以复数表示的向量CB与AB互相垂直，所以点在单位圆O上，且，由图易知6例6、设复数、对应于复平面上的点A、B，且，，O为原点，求的最大面积。解：依题意知，原方程可变为：，解得此式的几何意义是：，且，于是。由知点A在⊙C上移动，故要求的最大面积，只要求的最大值，而，的最大面积为例7、已知，，，求的值。解1：由题意可得，又，故知复数u对应的点是以原点为圆心、半径长为的圆和以A（-1，0）为圆心、半径长为的圆的交点，设，则6解2：如下图，，，，故只需求出，设，，在中，由余弦定理

5、得，例8、已知复数，，且。（1）求值；（2）求证解（1）：，点z、u、z+u都在单位圆上，设根据复数加法的几何意义知：6==02002086