妙用_ω_的性质_巧解复数问题.pdf

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1、10数学通讯　　　　　　　　　　　　　2002年第10期妙用“ω”的性质,巧解复数问题翁华木(武汉市黄陂一中,湖北430300)2mnm　　我们知道,1的立方根是1,ω,ω,其中ω=解由(3+i)=(1+i)得

2、3+i

3、=

4、1+n13213i

5、n,即2m=2,∴n=2m.-+i,ω=--i.2222将n=2m代入题设等式,得ω有以下几条常用的性质:m2m33(3+i)=(1+i),1)ω=1,ω…=1;m2)ωω…=1;即3+i=1,由此可得2i223)ω=ω…,ω…=ω;m1-3im4)1+ω+ω2=0,1+ω…+ω…2=0.=1,∴(-

6、ω)=1.2借用“ω”的性质,可简化有关的计算步骤,降低由ω的性质知,m的最小值是6,此时n的最小思维难度,巧解有关的复数问题.值是12.1　简化计算过程故存在最小的正整数m=6,n=12,使等式成立.66503+i3-i(3+i)1例1计算-+100.点评机智地把题设条件转化成ω=-+22(1-i)23+i-1+3iω3解∵==,i的形式,简化了此类问题的求解过程.22ii22例4已知α是实系数一元二次方程ax2+bx3-i-1-3iω2ω=-=-,3+i=,22iii+c=0的一个虚根,且α3∈R,求证:a,b,c三数成62650ωω(

7、2ω)等比数列.∴原式=---5050iii(-2i)2证1)当c=0时,方程ax+bx+c=0无虚50213=-1+1-ω=-ω=+i.根;2222)当b=0时,方程ax+bx+c=0有虚根,但点评在复数的计算中,含有3±i的形式都可32只能是纯虚根,从而α

8、R.以转化成ω或ω,从而借助ω的性质简化计算.故a,b,c均不为零.-22例2已知z=,求1+z+z+⋯+∵α3∈R,∴可设α=kω或α=kω21+3i200113z的值.ω=-+i,其中k∈R且k≠0.22-211解∵z=1+3==ω2=ω,则方程的另一根为α…,由根与系数的关系,

9、得i13--i22b2c2=-(α+α€)=-(kω+kω)=k,=αα€=k,1-z20021-ω2002aa22001∴1+z+z+⋯+z==1-z1-ωb2c21-ω于是a2=a,b=ac.==1.1-ω即a,b,c成等比数列.3n点评ω的性质可作如下推广:1)ω=1,3点评对于一个虚数α,若α∈R,则可设α=3n+13n+22ω=ω,ω=ω;2132)ωn+ωn+1+ωn+2=0,ω…n+ω…n+1+ω…n+2=0.kω或α=kωω=-+i,其中k∈R,且k≠222　降低思维难度0.并注意到kω=kω2,kω2=kω,常能使问题得到

10、简m例3是否存在正整数m,n,使等式(3+i)捷求解.n=(1+i)成立?若成立,求出最小的正整数m,n;若不成立,试说明理由.(收稿日期:2002-01-18)©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.