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1、妙用函数巧解不等式赵长有江苏省常熟市尚湖高级中学（215550）摘要：函数思想是数学思想方法中一种重要的思想,利用函数思想解决问题是高考数学屮的一个热点，函数的基本知识、基本方法在三角函数、数列、立几、解析几何、不等式问题中有着重要应用，本文将介绍利用函数解决不等式中问题.关键词：函数导数不等式巧解巧证函数是屮学数学的重点内容，它几乎贯穿中学教学的始终，蕴含着屮学阶段的很多理念、思想和方法•可以说，它是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是高考数学的考察重点和热点，在历年的高考中所占的比例较大.这些试题不仅考察有关函数的基本知识、基本技能和基本方法，而且注重考察逻辑思维
2、能力与运算能力，以及分析问题和解决问题的能力•通过函数的基本知识、基本方法在三角函数、数列、立几、解析几何、不等式等各部分知识中应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高分析问题和解决问题的能力•本文就不等式和函数的综合问题谈谈如何利用函数解决不等式中一些问题.题型一利用函数巧解不等式大家所熟悉的求不等式的解集问题主要包括求一元一次不等式、一元二次不等式、简单的分式不等式等问题•解答的主要思路有数形结合法、换元法、分离参数法、零点分段法等•下面笔者介绍另一种不等式的解法，利用函数来解不等式.例1•设/（力是定义在R上的可导函数，且满足/（兀）+灯'（兀）>0.求不等式f（厶+1）>
3、QX-f（J兀2-1）的解集.【分析】：同学们初见这个不等式难免有些陌生，对于一些基础较差的学生来讲更是束手无策•此题在一次测试中正确率只有10%.批阅时笔者仔细查看了学生的答题情况，有一半的学生没做，还有近40%的学生虽然有所动笔但思路不对•主要原因在于同学们审题时精力过于集中在不等式上，而忽视了题中的已知条件：“/(切是定义在尺上的可导函数，且满足/⑴+对'⑴>0”从这个不等式上我们容易看到这是一个积的导数，于是构造函数y=xf(x),而/U)+V(x)>0即y>o说明函数严灯⑴在定义域上单调递增，从而利用其单调性来解不等式.详解：因为函数/(兀)是定义在尺上的可导函数，且
4、满足/w+Vu)>o所以(#(x))z>0,即函数y=h(x)在区间(—00,+00)单调递增.当兀>-1吋Jx+l>0.由/G/x+1)>冷x-'fQx1-1)得J兀+1f(VX+1)>QJC?—]f(JX~_]).x-l>0由函数的单调性及定义域可得x2-l>0Jx+1>Vx2-1解得原不等式的解集[1,2)・【说明】本题的解题关键是利用/W+VW>°来构造在区间(-00,+00)上单调递增的函数y=xf(x),从而得到了解题的突破口.为了更好地巩固此类试题的作法，笔者将例1稍作改编，于是得到例2.例2•设函数/⑴是定义在(0,+oo)上的可导函数，且满足V'W-/U)>0,
5、解不等式(x-l)/(x+l)>/(x2-l)【分析】本题与例1在形式上很接近，细心观察我们发现不等式xfx)-f(x)>0喑示着一个函数的单调性，如果能准确地找到这个函数，就能快速的解出此题.详解：因为函数/(兀)是定义在(0,+oo)上的可导函数，且满足#W-/（兀）＞0所以(但y>o即函数尸但在(o,+oo)单调递增.由函数兀兀)的定义域可知/_1>0,所以在不等式(兀一1)/(兀+1)>/(兀彳-1)两边同除以兀2_1得（兀―1）/（兀+1）二/（，一1）即/（兀+1）、/（x2-l）x2-l9「>——1无+1Xfx2-l>0由函数y二但的单调性及定义域可得x+l>0兀
6、a兀+1>X"—1解得原不等式的解集为(1,2).【说明】本题的解题思路与例1相同，主要考察了学生利用导函数构造原函数的能力，及利用导函数判断原函数单调性的能力，由V'W-/«>0构造一个商函数y=^-是解此题的关键.所以学生不仅要熟练掌握各类函数的求导技X巧，还要掌握根据导函数求原函数的技能•值得注意的是例2在解不等式时要注意满足函数自身定义域.题型二利用函数巧证不等式与不等式证明有关的问题是每年高考的重点，此类题型多数与函数、导数、方程、数列、解析几何等相结合，是考生很难得分的一道试题，解答的主要方法有数形结合、分类与整合、函数与方程、分析法、综合法、比较法、反证法、数学归纳
7、法、利用函数的单调性及导数知识等•下面讨论利用函数的单调性及导数知识来证明不等式问题.1119例3•对于任意的正整数71,证明:ln(-+-)>-!----l.n2rTn【分析】从分析不等式结构我们看到，它是由两个函数构成的，因此我们利用构造函数的方法来解决此题.详解：构造函数：/(X)=-X2+2^+1+ln(x+,XG［0,1］29则/(%)=2-2x+-^-=2(1-%)+-—,2x+12x4-1当施［0,1］时，fx)>0・・・函数/(力在［0,1］上单调递增又/(0)
