7.构造和差积商函数.巧解函数不等式题

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1、[高考数学1000个母题]构造和差积商函数.巧解函数不等式题抽象函数不等式的一个母题随着微积分进入高中数学,在高考和竞赛中,流行着一类试题:已知含有抽象函数f(x)和其导数(x)不等式,研究含有函数f(x)和(x)的不等式问题:戓解不等式,戓判断不等式恒成立;我们把此类问题抽象概括为如下母题:[母题结构]:己知函数f(x)满足:G(f(x),(x))>0,研究不等式F(f(x),(x))>0(戓解不等式,戓不等式恒成立).[解题程序]:首先对不等式F(f(x),(x))>0进行等价变形得g(x)>0,并逆向联想求导法则,使得(x)=G(f(x),(x)),由已知可得函数g(x)的单

2、调性,根据g(x)的单调性可迎刃解决不等式g(x)>0问题.1.构造和差函数子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为.[分析]:由f(x)>2x+4f(x)-(2x+4)>0,可构造函数F(x)=f(x)-(2x+4),由已知可得函数F(x)的单调性,由此解决问题.[解析]:F(x)=f(x)-(2x+4),则F(-1)=0,且(x)=(x)-2>0F(x)在R上单调递增;所以,f(x)>2x+4F(x)>0F(x)>F(-1)x>-1.[点评]:通过构造和差函数可得如下结论:若定义域为R

3、的函数f(x),g(x)满足:f(a)=g(a),且(x)>(x),则不等式f(x)>g(x)的解集为{x

4、x>a},不等式f(x)

5、xx2.,下面的不等式在R上恒成立的是()(A)f(x)>0(B)f(x)<0(C)f(x)>x(D)f(x)x2…(*);①当x>0时,(*)2xf(x)+x2(x)-x3>0;②当x<0时,(*)2xf(x)+x2(x)-x3<0;注意到:(x2f(x)=2xf(x

6、)+x2(x),故考虑构造函数F(x)=x2f(x)-x4.[解析]:令F(x)=x2f(x)-x4,则F(0)=0,(x)=2xf(x)+x2(x)-x3;①当x>0时,(x)>0F(x)在(0,+∞)内递增F(x)>F(0)x2f(x)-x4>0f(x)>x2>0②当x<0时,(x)<0F(x)在(-∞,0)内递减F(x)>F(0)x2f(x)-x4>0f(x)>x2>0;③当x=0时,由(*)f(0)>0.综上,f(x)>0.故选(A).[点评]:通过构造积函数可得如下结论:若定义域为R的函数f(x),g(x)满足:f(a)=0或g(a)=0,且(x)g(x)+f(x)(x)

7、>0,则不等式f(x)g(x)>0的解集为{x

8、x>a},不等式f(x)g(x)<0的解集为{x

9、x(x),则当x>a时,f(x)g(x)>h(x),当x

10、b

11、f(

12、a

13、)>

14、a

15、f(

16、b

17、)(ab≠0),则()(A)a>b(B)ab2(D)a2

18、b

19、f(

20、

21、a

22、)>

23、a

24、f(

25、b

26、),故考虑构造函数F(x)=,并研究函数F(x)在(0,+∞)内的单调性.[解析]:令F(x)=,则F(x)是偶函数,且当x<0时,(x)=<0F(x)在(-∞,0)内递减F(x)在(0,+∞)内递增;所以,

27、b

28、f(

29、a

30、)>

31、a

32、f(

33、b

34、)F(

35、a

36、)>F(

37、b

38、)

39、a

40、>

41、b

42、a2>b2.故选(C).[点评]:通过构造商函数可得如下结论:若定义域为R的函数f(x),g(x)满足:(x)g(x)-f(x)(x)>0,则F(x)=在(-∞,+∞)上单调递增;进一步可得:若f(a)=0,g(a)≠0,不等式f(x)g(x)>0的解集为{x

43、x>a},不等式

44、f(x)g(x)<0的解集为{x

45、xk>1,则下列结论中一定错误的是()(A)f()<(B)f()>(C)f()<(D)f()>2.(2012年全国高中数学联赛陕西预赛试题)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有(x)<.则不等式f(log2x)>的解集为.3.(2013年全国高中数学联赛河北预赛试题)定义在R上的函数f