函数的和差积商的导数教案

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1、函数的和差积商的导数教案　　教学目的　　1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；　　2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．　　教学重点和难点　　本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．　　教学过程　　一、复习提问　　1．求导数的三个步骤是什么？　　(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)　　(

2、1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；　　　　2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．　　(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)　　解：设y=f(x)＝x＋x2，　　则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)　　＝Δx(1＋2x＋Δx)，　　　　二、引入新课　　让学生观察复习提问2的结果：y′=1＋2x．　　从这个结果可以得到以下两点启示：　　1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求

3、得；　　2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？　　结论是肯定的．　　三、讲解新课　　1．和(差)的导数．　　法则1两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即　　其中u和v都是x的可导函数．　　证明：(可让学生自己完成．)　　设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，　　则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]　　=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x

4、)]　　=Δu±Δv，　　　　即y'=(u±v)'=u'±v'．　　追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？　　说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即　　　　例1求函数y＝x3＋sinx的导数．　　解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．　　设问(继续引入新课)：既然有(u±v)'＝u'±v'，　　那么是否也有　　　　　　呢？　　就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：　　①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数

5、v(x)=x2的乘积，即y=x·x2．　　按(1)求导有：y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．　　显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．　　　　那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．　　2．积的导数．　　法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即　　其中u和v都是x的可导函数．　　证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，　　则　　Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(

6、x)　　＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，　　　　因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而　　　　即y'=(uv)'=u'v＋uv'．　　若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．　　就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即　　例2求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．　　　　＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)

7、·3　　＝18x2－8x＋9．　　3．商的导数．　　法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即　　　　　　　　　　　　因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是　　当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而　　　　即　　　　解：　　　　例4求证当n是负整数时，公式(xn)'=nxn-1　　仍然成立．　　证明：设n=－m(m为正整数)　　　　说明：　　当n＝0时，(xn)'＝nxn-1也成立，所以对于一切整数n，公式(xn)'＝nxn-1

8、成立．　　四、小结　　1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：　　(1)(u±v)'=u'±v'；　　(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；　　　　其中u和v是x的可导函数．　　2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．　　3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况　　那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在