分母代换巧解不等式竞赛题

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1、维普资讯http://www.cqvip.com中学数学研究2006年第7期例5(第31届／MO备选试题)设口，b，口(b+C)b(a+c)c(a+b)c，d>0且ab+bc+cd+da=1，求证：口(b+c)b(a+c)c(a+b)+++≥．2(ab+6c+ca)2(ab+bc+∞)2(ab+bc+∞)l证明：构造随机变量的概率分布：1lb2c2+=bCb+c+d口+C+d口+b+d口+b+c十．口b]1『1．(：J一—2(ab+b—c+ca)一l了：十P口(b+c+d)b(口+C+d)C(口+b+d)(口+b+c)一6L3，(口J1_+c)+。一c(口1_+—b

2、)]J，’E：一一21，’由田(*)得：‘其中=2(ab+口c+ad+bc++cd)．1+一b3+口3(6+c)。(口+c)。C3(口+b)=(++￡±鲤、>堡￡一2／2—2’++c)，=一2+一d2．由(*)例4(第二届友谊杯国际数学邀请赛试得：+++题)已知：口，6，cER，求证：++、>(堡±鱼±±宰≥争±．+^+，’，／(口+6+c+)证明：构造随机变量的概率分布：—2(ab+a．c+ad+bc+bd+cd1(堡±±￡±)一—a2+b2+c2+d2口bC＼———，／3(口+6+c+dz)一3b+CC+口口+b户b+CC+口口+b≥等地=．2(a+b+c)2(

3、口+b+c)2(口+b+c)注：由上述各例可知，用E≥(E)证明不等式，关键在于依据题设条件构造变量的则：Ⅸ=南(a2+bz+概率分布，然后通过运算和适当放缩即可证得．c2)，雎=1，自(*)得：++参考文献≥．[1]王志进程美．竞赛不等式的创新证法．数学通报，2005，4．坐坐e坐e坐坐坐坐坐生坐坐坐坐坐分母代换巧解不等式竞赛题浙江省东阳中学(322100)吴国建代换法，即变量替换作为一种重要的数学与证明之中．变量代换往往能简化题设信息，显思想方法被广泛地应用于数学竞赛试题的求解化隐含条件，构架条件与结果的联系通道，对发·43·维普资讯http://www.cqv

4、ip.com2006年第7期中学数学研究现解题思路，优化解题过程有着重要的作用．如何更为合理地替换变量，成为了解决问题的关三：(8x+)+(6r一十＼。2，I．＼x。6z)，I+．键．对于分式不等式来说，巧设分母局部代换，往往会收到意想不到的效果．本文试通过几道(+16z)一是≥2‘1+2‘+2·詈一是=竞赛题的解答，使读者对此法有更进一步的认478．当且仅当z：：=1：2：3即口：6：c=10：识．4例1(1992年第26届独联体数学奥林匹21：1时取得最小值47．克)对于任意口>1，6>1，有+≥8．厂例4已知z，，>0，求证焘+证明：设z=b一1，Y=a一1，

5、则a=1+Y，y+Y2z≤4．z十2v+。z++‘⋯>o．．。．各+=证明：令a=2x+Y+，b=z+2y+，c+：+++++≥YzYzYYz=z++2．则z=，=2(√+)+4≥8．：—广一，—广一，a，6，>0u．·于卞是走例2(第二届友谊杯国际数学邀请赛试题)ER，求址~a2+b2+赢2z+v+z+。赤z+2v++。z+v+2z：41f＼I二++a。≥．证明：设za+b，Yb+c，a+c，则=[9一(詈+a)一(詈+)一(詈+詈)]口=≤1(9—6)=3吾(z—+)，6=(z+—)，c=(．例5设a，b，C是三角形三边长，1≤≤，>0．++=mm‘{1，宁，_

6、}f，则{[z一2(—)++y-2(—z)+++≥；墨+z-2(z—)+]≥号(z+++≥；y+z)=笋．当且仅当z==即口=6当且仅当a=b=C时等号成立．=C时取等号．证明：设zb+c一，YC+a一，'013求+b+9c(口，6，=口+6一c，则口=『_兰，6=C>0)的最小值．解：设z=b+3c，Y：8c+4a，=3a+孪(2一)(1+)’一蔷(2一)(1+)，’．．．‘①式A26，则口=考+吾一3，6=考十号一，c詈左边=f3+(+呈Y+詈)+(+一，z，，>o．．‘·+b+一1)(詈+三+詈)j≥．当且仅当z即口=b=C时取等号．￡一考+吾一季++结论②可

7、以同理证明．3口+2b一Z例6设z、Y、、、∈R，且满足z+Y+=1，(3一)>0，一z、一y、一·44·维普资讯http://www.cqvip.com中学数学研究2006年第7期成立，故原不等式成立，当且仅当27==z时同号，则有f(x，，z)．27++取等号．≥．例8(2004年中国国家队培训试题)设证明：令a=一‘z，b=—PY，z=—27,y,z是大于一1的实数，证明：}≥+y．z，则口+b+C=3a一／1，口，b，c>0，·12+··f(27，，)g(口，)++++27高1++Vz≥2一．’证明：由z，Y，z>一1，则1+272虹：f+十1—3．于是