构建新数列巧解递推数列竞赛题

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1、构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。1求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。例1、数列中，，。求。（1981年第22届IMO预选题）分析本题

2、的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。解：构建新数列，使则，，即化简得，即数列是以2为首项，为公比的等比数列。-7-即2证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例2、设，，求证：。（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列，使，化简递推关系式。证明：易知，构建新数列，使，则，又，，从而因此，新数列是以为首项，为公比的等

3、比数列。-7-考虑到当时，有。所以，注：对型如，，都可采用三角代换。3证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。例3、设数列满足，求证：。（《中学数学教学参考》2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题）分析直接令，转化为证明证明：构建新数列，令则，代入整理得从而于是-7-由已知，，，由上式可知，，，依次类推，，即。例4、设r为正整数，定义数列如下：，求证：。（1992年中国台北数学奥林匹克试题）分析把条件变形为比较与前的系数及与的足码，考虑到另一项为

4、，等式两边同乘以，容易想到构新数列，使。证明：由已知得构建新数列，则，-7-又

5、

6、，从而。4解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。例5、设数列满足，，对一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）分析变形递推关系式为，就容易想到怎样构建新数列了。解：由已知构建新数列则，-7-从而，，，当时，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值为，8，及的一切自然数。5证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项，问题也就迎刃而解了。例6、设数列和满足，，且①

7、②求证：是完全平方数。（2000年全国高中联赛加试题）分析先用代入法消去和，得，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令，易求得。证明：由①式得，代入②得化为构建新数列，，且，-7-由特征方程得两根，所以当，1时，有解得：则则因为为正偶数，所以，是完全平方数。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。-7-