利用三角代换法解竞赛题

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1、·课外园地·数学通讯一2010年第1期(下半月)53利用三角代换法解竞赛题傅平修(山东师大附中，250014)在解决有关的竞赛问题时，常借助于题目显现的某些结构特征，引入三角代换，将所给问题转化为讲解由口+。=}％联系tan(号+们=1+tan0含有角的问题，然后运用三角函数的变换和性质进1一tan0’行求解．三角代换法是一种实用有效的解题方法，同可作代换切n，则tan+1=tan(4+0．)，时具有技巧性强的特征．’例1(2008年湖北省预赛试题)设数列{口}．．tan+4=tan，即口+4=a，所以数列11ta}是以4为周期的周期数列．从而a2008。n0(可满

2、足al=寺，an+I=(≥1)，则a20o8=’让口-=)，则口zoos=一1．题28设定义在[zl，2】上的函数Y=f(x)g(1~g25)=log2面1一+1，即忌的最小值为的图象为c，C的端点为A、B，M是C上任意一点，向量=(l，Y1)，=(z2，Y2)，=(，．11．．啦面一面十I·)，若z=l+(1一)2，记向量=+(1(2)对于函数Y=log2x，A(1，0)，B(2，1)，一)．现定义“函数Y=厂(z)在[l，2]_k-．-I在M(x，log2x)，其中过A，B的直线为：y：．27—1，标准k下线性近似”是指lI≤志恒成立，其中kN(z，z一1)．是

3、一个确定的正数．II：log2x一(一1)，令g()=log2一((1)试给出对于函数y=2在区间[0，1]上的一1)，g(z)=·一1。可知在[1，2]上当=k的最小值；(2)试给出对于函数Y=log2x在区间[1，2]上时，g(z)=0，在[1，i1]上g()为增函数，在[壶，的k的最小值．2]上g(z)为减函数，故可取得最大值为解由：+(1一)得到贰=荫，所以B，N，A三点在一条直线上，由=，+g(壶)=l。g2磁1一+1，即k的最小值为(1一．：【)Lz2得N在线段AB上且与点M的横坐标相．11．．og2砸一i十L同，0≤≤1．考察目标利用导数研究函数的单调

4、性、最值，(1)对于函数Y=2，A(0，1)，B(1，2)，M(，共线向量基本定理，对信息的处理能力和灵活转化2)，其中过A，B的直线为ZAB：=X+l，N(,27，能力，数学应用意识．+1)．设计思路以数值近似为出发点，在小区间范fl：(z+1)一2，令g(x)=(z十1)一2，围内以直线的函数值代替真实值．主要通过对信息g(z)=1—2ln2，可知在[0，1]上当：l。南的理解，考察分析问题的能力，突出了数学的探索意识，紧扣高考试题改革脉搏．时，g()=0，在[0，1og2南]上g(z)为增函数，在难度系数0．45．[Io或，2]上g(z)为减函数，故可取得最大

5、值为设计人姜本超(黑龙江省大庆实验中学163316)数学通讯一2010年第1期(下半月)·课外园地·’-l￡+711>／2·￡+_1=2+2vr3．，．．，·例2(2003年全国高中数学联赛试题)已知．．t=√j+1±√3+2v3．(舍去“+”)z，都在区间(一2，2)内，且xy一1，则函数l}z：上一：垒一2f二COS40丽—，_一，4+的最小值为’()I【——一9——36643sin40了(A)詈(B)酱(c)(D)_152其中t：+1一√3+2．说明通过三角代换，使解方程时的消元变得简单，同时要注意三角运算时的代数代换．例4(第33届IMO试题)如果z，，z>

6、1，cos口o。s卢一吉，于是有且+1+12，证明：≥v厂+Z32z【垡巨I：，+．—L．历+历．sinasinp’3sinasinp‘讲解为去掉结论中的部分根号，同时兼顾条件中的，一1，一1，可设‘．nn卢≤吾，．·．≥2+13·65=了12．上z=，’Y=一，c—os—2y，，，y∈(0，当且仅当oo~口cot2~，且sin口sinp6时，即号)，则条件简化为∞s2a+∞s2+cody=2，即{或{喜’时等号成立．sin2口+sin2fl+sin2y=1，待证不等式变形为说明引入三角代换后，简化了的结构，突[(sin2a+sin2卢+sin2y)(++刍)]l≥

7、++器．由柯西不等式得证．当且仅当sinacosa=sinflcosfl=sinyeos7即口=卢=7时，亦即X==『(1+)=2①=要时等号成立．【(1一)=6②说明这里的换元既把要证不等式右边的根号化掉，又去掉了条件中的分母，因此，这里的换元起讲解由①、②易得士十3：1，故可设—：～z～～到“一石二鸟”的功效，本题亦可设z=÷，Y=口，3sin-口=sin2(0<<号．-)，11—sin—Zfl’—sin—27’·==．．，，代人①化简得：例5(第2O届伊朗数学奥林匹克)设a，b，c是正实数，且a+6+c+abc=4，证明：a+b+冬∞s2=￡，贝t4—4t