利用特殊值法解竞赛题

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1、2中等数学利用特殊值法解竞赛题王万丰(浙江省台州市路桥实验中学，3t8050)中图分类号：0142文献标识码：A文章编号：1005—6416(2011)12—0O02—03(本讲适合初中)=0可转化成()．在数学竞赛中经常会出现一些利用“不(A)x(y2+Y一2)=0定条件”的求值问题，此类问题直接求值往(B)x(y2+)，一3)=0往难度较高．但试题若以选择题或填空题的(C)x(y2+y一4)=0形式出现，则可以利用对符合不定条件的字(D)x(y2+)，一6)=0母进行特殊化求解，往往会达到事半功倍的分析本题若直接求解，有一定难度．效

2、果．利用特殊值法不但可以计算代数式的先通过观察发现：值，还可以拓展到用点或图形的特殊化来求当=1时，+一缸++1=0，此时，某些几何问题的定值．1y=+=2．1字母特殊化再观察选择项可知，只有选项(D)的值例1已知abc#0，且口+b+c=0．则代为0．【点评】例1、2都是通过运用特殊值法数式++的值为()．DC口CaO把抽象的字母转化为具体的数值，大大降低(A)3(B)2(C)1(D)0了解题难度．解法1原式2点特殊化：二+二±+二(旦±鱼旦6c。。口6例3如图1，在=一(詈+詈)一(+)一(詈+詈)△ABC中，AB=AC=4，P是边

3、BC上异于=3．点曰、C的一点，则解法2由口+b+c=O，可取AP2+·PC的值为口=b=1．c：一2．直接代人得()．BPDC原式=一一虿1+4=3(A)16(B)20图1．(C)25(D)30故选A．解法1如图1，作AD上BC．因为AB=AC，所以，BD=DC．例2若y=+，贝0+一4x++1故AP+BP·PC收稿日期：2011—09—01。．=AD+PD+(BD—PD)(DC+PD)2011年第l2期3：AD+PD+BD一PD例5如图4，C：AB=16．若P是等边△ABC解法2令点P为BC的中点D，此时，内任意一点，且过BP=PC

4、：BD．AP=AD．P作边AB、BC、CA的垂线，垂足依次Ap+BP·PC=AD+8D为D、E、，，则：Aft=16．AD+BE+CF故选A．一=PD+PE+PF网4例4如图2，设是△ABC的重心，过()．的直线分别(A)2(B)(C)2(D)2与边AB、AC交解法1如图4，设等边△ABC的边长于P、Q两点，且为口，过点P作A。B／／AB，BC2／／8c，c，A2／／APAO—cA，分别与边BC、、AB交于点B和C。、A，PB，‘和C：、A：和日．易知，则+：，AlC2+A2P+PC1：AlC2+A，蕾1+Clc2=口．PD+PE+PF

5、罔2=：P+c+(201l，“希望杯”全国数学邀请赛(初三))口，解法1如图2，分别过点C、B作PQ的平行线交AD或AD的延长线于点E、则AD+BE+CF=一丝一—AP—AM’AA2+B曰l+CC1+÷(A2P+曰1P+PC2)m3一一_0‘n—AQ—AM‘所以，万AD+丽BE+CF=因D为边BC的中点，且F∥CE，所以，．DE=D解法2令点P为等边△ABC的中心，于是，FM+EM=2DM．设AB=2．则又M为△ABC的重心，则AM=2DM．AD=BE=CF=√一3，故+1=—FM+EM=：·．PD=PE=PF=1．解法2如图3，特殊化

6、点P，PQ／／BC．故选B．则【点评】在解决与点有关的求值问题时，AP可以根据题目中的条件，选取某个符合条件．．—．AQPBQC的特殊位置作出特殊图形进行计算．A‘‘MD‘。3图形特殊化于是，B例6如图5，在△ABC中，B=C，1+一：1．网3点D在边BC上，BAD=50。．在AC上取点4中等数学E，使得ADE=AED．则EDC的度S数为()．(A)15。(B)25。'(C)30。

7、六届“祖冲之杯”初中数学邀请赛)所以。EDC=BAD÷2=25。．解法1如图7，设边AB、BC、CD、DA的解法2令DAC=50。．则中点分别为E、F、G、H，联结、FG、GH、HE、ADE=65。．ADC=90。．MP、MQ、MR、MS与对角线AC、BD．于是。EDC=25。由E、F分别为边AB、BC的中点，知例7如图6，在矩形ABCD中，已知对角1s酬gEFGH=Is~gaJB4nco=线长为2，且,，1=2=4sEF：SAMOR．3=4．同理，4S=S△，则四边形，4S△SAMSP，EFGH的周长I4sHF：sPQ．是()．从而，

8、S~t,qe,s=4S四边形E脚=2．(A)2(B)4(C)4(D)6解法2令凸四边形ABCD为正方形，(2010，四川省初中数学竞赛)为正方形的中心，可得四边形PQRS为正方解法l根据反射关系，如图6,R