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1、2中等数学数学活动课程讲座和差代换在解竞赛题中的应用陆月平(江苏省泰州中学附属初中,225300)中图分类号:O122文献标识码:A文章编号:1005-6416(2010)03-0002-03(本讲适合初中)14-65=a-b.!对于任意实数x、y,恒有22∀!、+!分别得x+yx-yx+yx-ya2-b2=4,#x=+,y=-.222222a+b=14.∃x+yx-y2令=a,=b.则∃-#得b=5.22x=a+b,y=a-b.因为b>0,所以,b=5.此种代换称做和差代换.和差代换是一故待求式=(a+b)-(a-b)=25.种非常重要的解题技巧,其应用很广泛.例3
2、已知实数x、y、z满足x-y=8,2xy+z=-16.则x+y+z=.1求代数式的值解设x=a+b,y=a-b.则22x-y=2bb=4.例1已知a+b=6ab,且a>b>0.则2a+b因为xy+z=-16,所以,=.2a-b(a+b)(a-b)+z+16=0.222(2001,北京市中学生数学竞赛(初二))又-b=-16,则a+z=0.解设a=x+y,b=x-y.代入已知等由非负数性质知a=0,z=0.22式并化简整理得4x=8y.因此,x=4,y=-4.因为a>b>0,所以,x>y>0.故x+y+z=4-4+0=0.2xx故2=2=2.2求最大值和最小值yy22注
3、意到a+b=2x,a-b=2y.例4已知实数x、y满足4x-5xy+4ya+b2xx2211因此,===2.=5,设S=x+y.则+=a-b2yySmaxSmin(max表示最大值,min表示最小值).例2计算14+65-14-65的解设x=a+b,y=a-b.代入已知等值是().22式并化简整理得3a+13b=5.(A)1(B)5(C)25(D)5253225(2000,全国初中数学联赛)所以,b=-a0%a%.131332222解设14+65=a+b,故S=x+y=(a+b)+(a-b)2220210=2a+2b=a+.收稿日期:2009-05-11修回日
4、期:2009-11-0213132010年第3期321013(x+1)因此,当a=0时,Smin=;2a==13.∃13x+1252051010131当a=时,Smax=∀+=.联立式#、∃解得a=,b=∋.3133133222113138x+13故+=+=.代入式!得=7或6.SmaxSmin10105x+122例5已知实数a、b满足a+ab+b=1,解得x1=1,x2=6,x3=3+2,x4=3-2.22且t=ab-a-b.则t的取值范围是,经检验,x1、x2、x3、x4都是原方程的根.tmax=,tmin=.x+xy+y=1,例7方程组2222的实数(2001,TI杯全国初
5、中数学竞赛)x+xy+y=17解设a=x+y,b=x-y.解(x,y)=.代入已知等式得(1996,东方航空杯上海市初中数学竞赛)22(x+y)+(x+y)(x-y)+(x-y)=1.解设x=a+b,y=a-b.则2222x+y=2a,xy=a-b.化简得y=1-3x.于是,原方程组变为221因为y&0,所以,0%x%.3322a=,22a-b+2a=1,2故t=ab-a-b2222222=(x+y)(x-y)-(x+y)-(x-y)2a+2b+(a-b)=1717b=∋.22222=-(x+3y)=-x-3(1-3x)2因此,原方程组的解为=8x-3.3+173-17易知0%
6、8x2%8x1=,x2=,223213-173+17-3%8x-3%-y1=;y2=.32211-3%t%-tmax=-,tmin=-3.4证明等式或不等式332222例8已知x+y=a+b,x+y=a+b.3解方程和方程组2001200120012001求证:x+y=a+b.213x-x13-x(2001,江苏省泰州市数学竞赛(初二))例6解方程x+=42.x+1x+1证明设x=m+n,y=m-n.则(1998,吉林省长春市数学竞赛(初三))x+ya+bm==.解将原方程变形为2222222213x-xx+13又x+y=(m+n)+(m-n)=42.22x+1x
7、+1=2(m+n),2222213x-x将式代入上式,并结合x+y=a+b,化设=a+b,x+1简得2x+132=a-b.!n2=(a-b).x+14∀!、+!分别得a-bb-a22所以,n=或n=.a-b=42,#224中等数学a+ba-b是换元转化,关键是构造元和设元,目的是通当m=,n=时,有x=a,y=b;22过引进新的变量,使复杂的计算和推证变得当m=a+b,n=b-a时,有x=b,y=a.容易处理.22可见,无论哪种情况都可得到练习题20012
