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时间:2018-07-16
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1、一个结论在解竞赛题中的应用江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300我们先来证明下面的结论(可进行推广):若a12+a22=1①b12+b22=1②a1b1+a2b2=1③则a1=b1,a2=b2.证明:①+②-③×2,得(a1-b1)2+(a2-b2)2=0.由非负数的性质,得a1=b1,a2=b2.在数学竞赛中的应用举例:例1已知实数a,b满足,求a2+b2的值.解:因为所以于是a2+b2=1.例2已知3cosα+4sinα=5,求tanα的值.解:因为cosα+sinα=1cos2α+sin2α=1所以cosα=,sinα=于是tanα=.例3已知,求的值.解:因为cos2β+sin2
2、β=1cosβ﹒+sinβ﹒=1所以cosβ=,sinβ=即cos2β=cos2α,sin2β=sin2α于是=1.例4求满足条件的实数x.解:由题意可知x>0,已知条件可化为又所以解之并且检验,得x=.例5已知a、b、c,x、y、z均为实数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,试求的值.解:因为所以,,即于是=.练习:1.已知,求的值.2.解方程.(答案:1.1;2.提示:显然x≠0,原解方程可化为,x=±)常用符号:≠= ≤≥<>∽≌⊙△+―×?÷∶±√∵∴∥⊥∠°′″℃αβγθΦπⅠⅡⅢⅣⅩ①②③④.
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