代换在不等式解题中的应用

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1、代换在竞赛不等式中的应用査正开江苏省常熟市中学215500zhazhengkai3@163.com摘要：以国内外数学竞赛题（或改编题）的解答为例，介绍在处理不等式问题中的七种基本代换，即目标代换、三角代换、常量代换、对偶代换、均值代换、增量代换、条件代换的方法和作用；并给出附有简答与提示的配套练习题，以使读者能及时反馈掌握.关键词：竞赛不等式基本代换数学解题就是把未知问题通过正确的推理转化为已知结论的过程.它的核心内容就是化归，而化归的首要环节就是代换，因而合理的代换就成为解题的关键.本文举例介绍在数学竞赛类不等式

2、问题中常用的基本代换，供读者参考.1．目标代换根据所求结论的结构特征，结合已知条件，做出合适的目标代换.1.1简单对称代换例1：已知，求证：.分析：这是一个经典的不等式，曾多次作为竞赛题，证法很多.本题难点在于分母为多项式故可将分母作简单对称代换即可.证明：设，则，.原不等式.由均值不等式知此式显然成立，从而原不等式得证.说明：通过代换，把分母变成单项式便于处理，当然也可利用柯西不等式加以证明.1.2部分特征代换例2：设为非负实数，求证：.其中表示循环和（《中等数学》数学奥林匹克高中训练题（135）加试二）.分析：

3、这是一个难度较高的不等式证明题，根据循环和的本质，采用对称轮换进行代换.证明：设,原不等式.由柯西不等式,.说明：通过代换实际上达到了消元的效果.121.3整体代换例3：已知实数，且满足:，试求的最大值（《数学通报》2011年3月号问题1993）.分析：原问题所提供解答（文[1]）采用三角代换进行处理较繁琐，技巧性又较强，再加上排版错误，很难让读者理解.其实只要把条件变形一下，再整体代换即可.解：原条件化为，设，则，则且，.利用抽屉原则：，，中至少有两个不小于或者不大于，不妨设，,.又,.当且仅当即=1时取等号，最

4、大值为3说明：通过代换可达到简化效果，值得注意的是巧用抽屉原则来证明不等式堪称一绝.1.4参数待定代换例4：已知实数满足，求的最大值(2009年浙江省高中数学竞赛预赛题).分析：引入参数，，再应用均值不等式待定系数加以处理.解：设，根据目标，联想均值不等式,若,因，故，，的最大值为.说明：这种代换通过分析可有效沟通条件与结论之间的联系.2．三角代换12把问题通过代换转化为三角（或三角形）的一种代换，具有广泛的应用性.2.1三角代换例5：若且，证明：（第15届伊朗数学竞赛试题）.分析：这个代数不等式其条件是分式，结论

5、是根式，直接证明较复杂，可考虑三角代换.证明：设，则条件简化为，.待证不等式转化为.这就是柯西不等式的三元情形，原不等式成立.说明：这种代换既考虑到去掉结论中的根号，又兼顾到条件中的倒数问题，起到了“一石二鸟”的功效.2.2三角形代换例6：设，求证.分析：本题是一个很优美的不等式，如果引入变换，则可以化为一个三角形的三边.证明：令，则即转化为证,（《数学教学》问题73）（1983年瑞士数学竞赛题）.因，.所以，当且仅当即时取等号.说明：这种代换是联系代数不等式与三角形不等式的有效途径.123．常量代换把已知条件或常

6、数进行置换的一种代换，可使问题得到简化明朗.例7：若且，求证：.分析：这是安振平老师在文[2]提出的二十六个优美不等式中的第十九个不等式，它可通过三角代换或构造函数给以证明，但若采用常量代换，即把“3”置换成“”更简捷.证明：原不等式等价于,将“3”置换成“”，则它又等价于.不妨设，则，.若，不等式显然成立;若，则同例6一样可证,从而原不等式成立.说明：通过代换可有效利用条件，使不等式齐次化（一般化）.4．对偶代换通过构造对偶式子达到解题目的.例8：设且，求证（24届全苏数学竞赛）.分析：根据不等式结构特征，可考虑

7、构造原不等式左边的对偶式来证明.证明：设则,.因为，即,从而原不等式成立.说明：这种通过构造对偶式解决问题，充分体现出数学的对称和谐之美.5．均值代换它是均衡换元的一种代换，既可对条件实施，也可对结论实施.例9：已知，求证：。分析：本题要证明，可设进行均衡代换，从而实现减少未知数，简化式子的目的.12证明：令，不妨设，设因为，因，，故，.说明：通过此种代换达到减元增设的效果.6．增量代换根据有些不等式的式子特征，采用增量代换可有效简化因式.例10：设，则证明：①当，设，则当且仅当即时取等号.②当，设，则当且仅当即时

8、取等号，根据式子特征其它情形同样可证，所以原不等式成立.注：通过增量代换使问题得以有效简化.例11：已知实数满足，，，求实数的取值范围（2011年全国高中数学联合竞赛一试B卷第9题）解：设代入，得将代入得同理可得：是方程（*）的两根得12即得从而说明：增量代换与均值代换都是一种有效增设，有异曲同工之美.7．条件代换对一些常见的已知条件，可进行有效的代换，从而