柯西不等式的巧用(牟).doc

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1、柯西不等式的巧用高2016届数学组牟帮华白从我校开办弘毅学堂，尤其是开设了奥赛数学班后，数学老师们对一些高等数学知识解决高中数学问题有了巨大的关注，值此上交年会论文的机会，我把以前关于柯西不等式解决高屮数学难题的一些看法和认识提出来以供参考，其屮也有引用前人心血，若有不足，)i望理解！柯西不等式的一般形式为：对任意的实数同叫…，①及勺上2,…，仇有(n2(nV//、IEaibi§，/=l/丿/=!八匸I丿/=1其屮等号当且仅当—=^-=...=—时成立(当的=()时，认为ak=(),1

2、柯西不等式解题作一些探讨。一、柯西不等式在解题屮的应用1、利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到忖的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。例、已知aJ1-b?=1,求证:a2+/?2=l。证明：由柯西不等式，得ay]-b2+byjl-a2

3、西不等式化为不等式,然后结合原方稈把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方稈，进而得到简单的整式方程，从而求得原方稈的解。例：解方程解:;心•卜⑴石+（兀+1）2由柯西不等式知+（兀+1尸+（兀+1）2>2+>2+x（x+1）当上式取等号井血+x冇成立，即xx（x+1）+x+1=0（无实木艮）或兀，+*—1=0,即兀=,经检验，原方程的根为-1±V5x=2用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯两不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。例：解方程组兀+y+z=9x+w=6x4+x2(y2+z2+w2)+w2(>,2

4、+w?)=486解：原方程组可化为兀+y+z=9x+vv=6(x2+y2+z2)(x2+VV2)=486运用柯两不等式得(x2+z2)>—=27,x2+vv2>—=1832两式相乘，得(x2+y2+z2)*(x2+kj2)>486当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程纟H.的解为x=y=z=w=3.3、柯西不等式证明不等式。很多垂要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例：设a,b,c为正数且不相等到，求证：222911>a+bb+cc+aa+/?+c分析：我

5、们利用9与2这两个常数进行巧拆，9=(1+1+1『，2(d+/?+c)=(a+b)+(/?+c)+(c+a)这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。•1H(a+bb+cc+q丿222911na+bb+cc+dd+b+ca,b,c各不相等,・・・等号不可能成立，从而原不等式成立。・•・有些问题木身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。仞J：设d]＞。2＞・・・＞。打卄1，求证：―!—+—!—+…+——-——+——->()a~a2a2~a3Cln~%%一a分析：这道题初

6、看似乎无法使用柯西不等式，但改变H结构，我们不妨改为证:111(e-%])•>1,++…+a~a2a2_a3an-an+证明：为了运用柯西不等式，我们将⑷-。讪写成（%一°2）+（。2一。3）+・・・+（色一£+l）于是[（%一。2）+（。2一色）+…+仏一〃+1++…+%-a2a2-a3an(⑷-a即>n2>1.、++…+-©2①一°3Cln~an+I111++…+>,a~a2a2~a3Cln-an^Ci-5+1故11>0.绚_。2ci2-a3an-att+lan+]-a}我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其屮每一个因式都是

7、项平方和，右边是左边屮对立的两两乘积Z和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。例：求证：7%

8、2+x2++元nJ（X

9、+（兀2+力『・证明：•・・Qxj+兀j+Jyj+yjj=（州2+球）+（片+£）+2后+近）•（yj+y；）由柯西不等式得（屛+卅）・（》+兀2〉汀其屮等号当且仅当兀]=炒],兀2=炒2时成立。•••JS+wh+w）+兀2儿n（时+x2）+6：+）J2）+2（心儿+x2y2）Jx：+兀；+Jy；+y；>丁（兀i+儿y+（兀2+）'2）~•其屮等号当且仅当x}=ky}