运用均值不等式的八类配凑方法

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1、运用均值不等式的八类配凑方法运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。下面把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例1已知0x1,求函数yx3x

2、2x1的最大值。解：yx2X1x1x11x2x11x2Xlx11X32xlx14。1X4223127当口仅当31x1321x,R卩x时，上式取“二”。故ymax。3227评注：通过因式分解，将函数解析式It!“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。例2求函数yxOx1的最大值。解：店4(1_/)y22327x2x221x221xx2因x21x2,即x当R仅当时，上式取“二”2羽o故ymax。23评注：将函数式屮根号外的正变量移进根号内的口的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3已知0x2,求函数y6x4x2的最人值。

3、解:y36x224x22182x24x24x232x24x24x2188318o327当且仅当2x4x2218832,即x时，上式取“二”o故ymax乂27y0,ymax3。3二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然厉以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4x5x2设x1,求函数y的最小值。x1解：yx14x11X145Xlx159o当且仅当X1时，上式取“二”o故ymin9。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例

4、5已知X1,求函数y24X1X32的最人值。解：X1,x10,y24x1X124X1424X14x1243o224当且仅当X1时，上式取"二”。故ymax3。评注：有关的最值问题，若分了的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分了化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6已知0x,求函数y2cosx的最小值。sinxxx解：因为0x,所以0,令tant,则t0。22211cosxlt213t所以ytsinxsinx2t2t2当且仅当13t,即txlit，上式取“=”。故ymin2t评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，

5、创造出运用均值不等式的环境。三、拼凑常数降幕例7若b32,a,bR,求证：ab2。分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。木题已知与耍求证的条件绘ab1,为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。3333a,b313133bo证明：all,故原不等式a3b3463ab,ab2.当且仅当ab1时，上述各式取“二”得证。评注：木题借助取等号的条件，创造性地使用棊木不等式，简洁明了。例8若x3y32,x,yR，求x2y25xy的最大值。解：31xx1

6、x3x3,31yy1y3y3,31xy1x3y3x2y25xy1x3x31y3v351x3y3377x3y337o当且仅当ab1时，上述各式取“一”故x2y25xy的最大值为7o例9已知a,b,c0,abc1,求证：a3b3c3abbeca。证明：1a3b331ab,1b3c331bc,1c3a3：32a3b3c33abbeca,Xabbeca3,32a3b3c32abbeca3,a3b3c3abbeca。当Fl仅当abc1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。四、拼凑常数升幕例10若a,b,cR，且abcQa+54b+5x/c+5lo分析：已知与要求证的

7、不等式都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是lab3证明：2161616a/F+5y/c+5333131Ja+5Jb+5&+5abc32.。当Ft仅当abc1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。3例11若ab2,a,b,R,求证：a3b32。证明：211a1313a3,311b1313b3,3ab4a3b3。a.乂ab2,a3b32。当且仅当ab1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。五、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分了能降次。28例12已知x,y,0,1,求xy的最小值。xy284v6x4x当且仅当28132x

8、yxy243264o41的最小值。解：因为0xy41x411xl时