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1、运用均值不等式的八类配凑方法运丿IJ均值不等式的八类拼凑方法利川均值不等武求最值或证明不等武是高屮数学的一•个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题小某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题屮的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等武的拼凑方法概括为八类。一、拼凑定和通过因武分解、纳入根号内、升幕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最人值。例1已知0x1,求函数yx
2、3x2x1的最人值。W：yx2x1X1X11x2x11XXlx11XXlx132241x42o2232732当且仅当x121x,B
3、Jx13时，上式;取“二”o故ymax3227评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利川隐含的“定和”关系,求“积”的最人值。例2-X1求函数yxOx1的最人值。解：*（1-十）y3因X22X2x2x21x327当且仅当22&1X2,即x3时，上式取“二故ymax评注：将函数式屮根号外的正变量移进根号内的日的是集屮变元为“拼凑定和”创造条件。例3已知0x2,求函数y6xx2的最大值。解：y36x2
4、24x22182x24x4x2232x24x24x21818o3273当且仅当2x4,即X3时，上式取"二”o故ymEix3218827，又y0,ymax3o%1.拼凑定积通过裂项.分子常数化、有理代换等于•段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积,创造运用均值不等式的条件b求函数y的最小值。x15解：yxlx1590当且仅当x1时，上式取“二”o故ymin9。评注：有关分武的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。24x1例5已知x1,求函数yx32的最人值。解：x1
5、,x10,y24x1x124x1424x14x1424224当且仅当x1时，上式取“二”。故yniQx3o评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，M考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6已知0x,求函数y1cosxsinxx2的最小值。，令tan2解：因为0x，所以0lsinx12t2x2t,则tOo所以y1cosxsinxt12t3t2当且仅当3t2,即t3X3时,上式取“二”。故yminO评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的坏境。三、拼凑常数降幕例7若曲b32
6、,a,bR,求证：ab20分析：基木不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化屮架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。木题L1知与要求证的条件是db1,为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：all3a,b113bo33,故原不等武得证。ab463ab,ab2•当且仅当ab1时，上述各式取“二”33评注：木题借助取等号的条件，创造性地使川基木不等式，简洁明了。例8若x3y32,x,yR,求x2y25xy的最人值。解：31xx1x3x3,31yy1y3y3,31xy1x3y3,lxxlyy5
7、1xy333333xy5xy22177xy3337O当且仅当ab1时，上述各式取“二”，故x2y25xy的最人值为7。例9已知a,b,c0,abcL求证：a3b3c3abbecao1bc,1c3a33lea,证明：1a3b331ab,1b3c3332abc3333abbeca,Xabbeca2abbeca3,a33,32abc33333bcabbeca。当且仅当abc1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。四、拼凑常数升慕例10若a,b,cR，且dbcyja+5Jb+5Jc+51o分析：已知与要求证的不等武都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条
8、件是abc13,故应a5,2163e+5b5,2163c521331abc32.o当且仅当qbc时，JL述各式取“二”，故原不等式得证。例11若db2,a,b,R,求证：a3b32o333333证明：311a11a,311b11b,3ab4abo3333又ab2,ab2O当且仅当ab1时，上述各式取“二”,故原不等式得证。五、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。2x8y例12已知x,y,0,1,求xy的最小值。2146.*解：xyxyl284yxxyx26x432y432o64当且仅当2x8y12时，即x4.y16,上式取“二”,
9、故xymin64o4x11x例13已知0x1,求函数
