高考二轮数学专题：运用均值不等式的八类拼凑方法.doc

《高考二轮数学专题：运用均值不等式的八类拼凑方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高考二轮数学专题：运用均值不等式的八类拼凑方法运川均值不等式的八类拼凑方法利川均值不等式求最值或证明不等武是高屮数学的-•个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题小某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题屮的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供倍息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等武的拼凑方法概括为八类。-、拼凑定和通过因武分解、纳入根号内、升幕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑

2、定和，求积的最人值。例1：LL知0x1,求函数yxxx1的最人值。解：yx232x1x1x11x2x11x2xlx11x32xlx1o41x422327当且仅当3x1132o故yniax。1x,即x时，上式収“二”3227评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。例2J1_X?:求函数yxOx1的最人值。解：從（］_十）yxx21X1xx2因,2222322327x2&1x2,即x当且仅当时，上式取“二”c故ymax。392评注：将函数式小根号外的正变量移进

3、根号内的日的是集小变元，为“拼凑定和”创造条件。例3：已知0x2,求函数y6x4x解：y36x222的最人值。4x22182x24x24x232x24x24x2188318o3271当且仅当2x4x22，即x时，上式取“二”。3故ymax21883,又y0,ymax。327二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4：设xlx5x2,求函数y的最小值.。x159。解：y旷+%+l1x145Xlx1当且仅当X1时，上式取“二”。故

4、ymin9。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例5：已知x1,求函数y24x1x32的最大值。解：x1,x10,y24x1x124x1424x144x1243。224当且仅当x1时，上式取。故ymax30评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6：已知0x,求函数y2cosx的最小值。sinxxx解：因为0x,所以0,令tant,则t0。22211cosxlt.213t

5、t所以ysinxsinx2t2t2当且仅当13tx时，上式取“二"。故ymin。，即t32t评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。二、拼凑常数降幕例7：若ab2,a,bR,求证：ab2o分析：基木不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化屮架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。木题已知与要求证的条件是4b1,为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。333a,b113bo证明：a11333333a3b34

6、63ab,ab2.当且仅当3b1时，上述各式取“二”,故原不等武得证。评注：木题借助取等号的条件，创造性地使川基木不等武，简洁明了。例8：若xy2,x,yR,求xy5xy的最人值。解：31xX1xx,31yy1yy,31xy1xy,3333333322x2y25xy1x3x31y3y3r*□1x3y332277x3y337o当且仅当ab1时,上述各式取“=”，故xy5xy的最人值为7。例9：已知a,b,c0,abcL求证：abcabbecao证明：1ab31ab,1bc31bc,1ca31ca,33333333332a3b3c

7、33abbeJa2b2c2ca,又abbeca3,32a3b3c32abbeca3,a3b3c3abbecao当且仅当dbc1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。四、拼凑常数升幕例10.若a,b,cR,且dbcJa+5y/b+5>/?+5731。分析：已知与要求证的不等式都是关于a,b,c的轮换对称戎，容易发现等号成立的条件是1abc3证明:y/a+52161616Jb+5b5,2c53333231Jo+54b+5yc+5V3abc32.当且仅当qbc1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。3例11.若3b2,a,b,R,

8、求证：ab2O证明：311a1313a3,311b1313b3,3ab4ab。3333又ab2,ab2。当且仅当ob1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。六、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例12.LL知x,y，0,3328L求xy的最小值。