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《运用均值不等式的八类拼凑方法 郸城一高 杨培军 Microsoft 文档 (3).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、通过因武分解、等条件为出发点,求积的最人值。例1.已知01yx2x1,求函数yx1x3x1x21X1x2的最大值。解：x11x运用均值不等式的八类拼凑方法郸城一高杨培军MicrosoftWord文档（3）运丿IJ均值不等式的八类拼凑方法利川均值不等式求最值或证明不等武是高屮数学的一•个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题屮某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者
2、把运用均值不等武的拼凑方法概括为八类。拼凑定和纳入根号内、升幕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取均分系数，拼凑定和，Xlxxlx1322232732O当且仅当X121x,即x时，上式取"二”o故ymEix3227评注：通过因式分解，将函数解析武由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利川隐含的“定和”关系，求“积”的最人值。例2•求函数yx20x1的最大值。解:3O因X22X2x2x21x1327当且仅当X221X2,即x3时，上式取“二o故ymax评注：将函数式屮根号外的正变量移进根号内的日的是集屮变元为“拼凑定和”创造
3、条件。例3•已知0x2,求函数y6x4x2的最人值。解：y236x24x2182x24x24x22x4x4x18322223188273Q1当且仅当2x241882733二”故y2max，又yo,ymax3二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等于•段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运川均值不等式的条件例4.设x1,求函数yx1的最小值。1yX1解：5xlx159O当且仅当x1时，上式取“二”o故ymin9。评注：有关分武的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，
4、然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例5.已知x1,求函数y24x1x32的最人值。24x1解：X1,X10,yx124x1424x14x14242243O当且仅当x1时，上式取“二”。故yni4x3o评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6.已知0x，求函数y1cosxsinxx解：因为0x22的最小值。x2t,令tan12t3t2,则t0。J—'—2t2所以y12t返lsinx3t21cosxsinx1t.2t2t当且仅当,即t时,上式取“二”。故y
5、min。评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的坏境。三、拼凑常数降幕例7.若b32,a,bR,求证：ab2分析：基木不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化屮架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。木题已知与要求证的条件是ab1,为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。ab2.当且仅当ab1时，上述各式取“二”33故原不等式得证。评注：木题借助取等号的条件，创造性地使川基木不等武，简洁明了。例8.若x3y32,x,
6、yR，求x2y25xy的最人值。解：31xx1x3x3,31yy1y3y3,31xy1x3y3,22xyoxylxxlyy51xy333333177xy3337a当且仅当Qb1时，上述各式取“二”，故x2y25xy的最人值为7。例9.已知a,b,c0,abc1,求证：a3b3c3abbecao证明：1甜b331ab,1b3c331bc,1c3甜31ca,32abc3333abbe/a2b2c2ca，又abbeca2abbeca3,a3333,32abc333bcabbeca0当且仅当abc1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。四
7、、拼凑常数升幕例10.若a,b,cR，且abcV^+5Jb+5y/c+5分析：已知与耍求证的不等武都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是3abc证明：1163a5,2163Ja+5Jb+5Jc+521131Jci+5Jb+5y/c+5abc32.o当且仅当dbc时，上述各式取“二”，故原不等式得证。例11.若ab2,a,b,R,求证：a3b32。3证明：311a1313a3,311b1313b3,3ab4a3b3«又ab2,a3b32。当且仅当bb1时，上述各式取“二”，故原不等式得证五、约分配凑通过“1”变换或
8、添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例12.C知x,y,0,x21,求xy的最小值。284y64x24yr64x解：xyxy1xy3223264。当且仅当2x8y12时,即x4.y16,上式取“二”,也41例13.i_L知0x1,
