均值不等式及其运用

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1、均值不等式及其运用教学目标　1.了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；　2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.教学重点:会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学难点：基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。命题趋势:高考考察的重点内容之一,题型多种多样,涉及面广,经常有综合性强难度较大的题目出现.学情分析:在不等式的基础上学习本节,比较好理解掌握.高考再现:(见后)教学过

2、程:知识点一：2个重要不等式　　1．重要不等式：　　　如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.　　2．基本不等式：　　　如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.　　注意：和两者的异同：　　（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；　　（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。　　（3）可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明1.几何面积法　　如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　设直角三角

3、形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。　　得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）　　特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：　　　　　　如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.　　通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2.代数法　　∵，　　当时，；　　当时，.　　所以，（当且仅当时取等号“=”）.　　特别的，

4、如果，,我们用、分别代替、，可得：　　如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.　　通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）知识点三：基本不等式的几何意义　　如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　易证，那么，即.　　这个圆的半径为，它大于或等于，即，　　其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.　　注意：　　1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何

5、平均数.　　2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.经典例题透析类型一：基本不等式的理解　　1.，，给出下列推导，其中正确的有___________（填序号）.　　（1）的最小值为；　　（2）的最小值为；　　（3）的最小值为.　　【答案】（1）；（2）　　（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.　　（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.　　（3）∵，∴，　　　　（当且仅当即时取等号）　　　　∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即　　【

6、变式1】下列命题正确的是（）　　A.函数的最小值为2.　　　　　　　　　　B.函数的最小值为2　　C.函数最大值为　　　　D.函数的最小值为2　　【答案】C　　解析：A选项中，∵，∴当时由基本不等式；　　　　　　　　　当时.∴选项A错误.　　　　　B选项中，∵的最小值为2　　　　　　　　　（当且仅当时，成立）　　　　　　　　　但是，∴这是不可能的.∴选项B错误.　　　　　C选项中，∵，∴，故选项C正确。均值不等式及其运用(二)主备人:韩玉杰记录人:薛彦合2011.10教学目标　1.了解基本不等式的证明

7、过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；　2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.教学重点:会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学难点：基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。命题趋势:高考考察的重点内容之一,题型多种多样,涉及面广,经常有综合性强难度较大的题目出现.学情分析:在不等式的基础上学习本节,比较好理解掌握.高考再现:(见后)教学过程:知识点一：用基本不等式求最大（小）值　　在用基本

8、不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。　　①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。知识点二：几个常见的不等式　　1），当且仅当a=b时取“=”号。　　2），当且仅当a=b时取“=”号。　　3）；特别地：；　　4）　　5）；　　6）；　　7）规律方法指导　　1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求