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1、均值不等式及其运用圉编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知園学习目标：園1.了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的儿何意义，并掌握定理中的不等号“2”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.重点：園会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题难点：询基本不等式2等号成立条件，利用基本不等式2求最大值、最小值。知识要点梳理宙知识点一：2个重要不等式哇］1.重要不等式：如果那么a2+b2>2ab（当且仅当a=b吋取等号“=”）.2.基本不等式：如果是正数，那么2（当且仅当a=b时収等号注意：。+“^2ab和2两者的异同：（1
2、）成立的条件是不同的：前者只要求°』都是实数，而后者要求負上都是正数;（2）取等号“二”的条件在形式上是相同的，都是“当II仅当a=b时取等号”。22ab<^-业昨ab<（^±（3）負+b>2ab可以变形为：2,2可以变形为：2知识点二：基本不等式2的证明1.几何面积法園如图，在正方形曲co中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为炭、b,那么正方形的边长为J/+沪。这样，4个直角三角形的面积的和是加心，正方形MCQ的面积为/+沪。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：/+胪二2必。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时,正方形瓦FGH缩为一个点，这时有/+沪=2a
3、b。得到结论：如果址必对，那么a2+b2>2ab（当且仅当a=b时取等号“二”）特别的，如果&>°,我们用亦、爲分别代替e、b,可得：如果必>0,则a+b王忑，（当且仅当a=b时収等号“=”）.通常我们把上式写作：如果“>0,6>°,2,（当且仅当幺=b吋取等号“二”）1.代数法宙・・a2+b^-2ab=（a-i））2>0•y当aH3时，（a-疔>0.当a=b时，（a—“）2=0所以（疋+胪）王2必,（当且仅当a=3时取等号.特别的，如果八°,我们用拓、庞分别代替Jb,可得：如果^>0,“A°,则a+“=2屁，（当且仅当a=b时取等号“二”）.通常我们把上式写作：,（当且仅当a=b时取等号“
4、=”）知识点三：基本不等式2的几何意义如图，是圆的直径，点C是AB的一点，卫C二二帚过点C作DC丄交圆于点D,连接血、BD.易证RtlhACDRtlhDCB那么CD2=CA-CB,即CD二辰a+b这个圆的半径为2它大于或等于CQ,即2其中当且仅当点°与圆心重合，即a=b时，等号成立.注意：a+b1.在数学中，我们称2为°上的算术平均数，称临为“上的儿何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数.a+b2.如果把2看作是正数％的等差中项，巫看作是正数“上的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差屮项不小于它们的等比屮项.知识点:用基本不等式2求最大(小
5、〉值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。①一正：函数的解析式屮，各项均为正数；②二定：函数的解析式屮，含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。知识点五：几个常见的不等式園a24-Z?2>2ab{atb61)'当且仅当时取号。2)2，当且仅当时取“二”号。—4-—>2(a■&>0)a+—>2(a>0)3)&&:特别地：“；4)a+b(afbeR+)/ii{、(a4-6)—4-->4afbeR+)5)匕I；a3+b34-c3>3abc(afbfceR+)6)a4-i+c>劉abc{a,b,ceA+)7)规律方法指
6、导曲1.两个不等式：都是实数，后者要22a化莎a+“^2ab与2成立的条件是不同的，前者要求a,b求a,b都是正数。如(-3)2+(-2)2>2x(-3)x(-2)是成立的，而(-3)+(-2)^2^(_3)x(_2)2是不成立的。2.两个不等式："22a^b>^b工+b>2ab与2都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取号这句话的含义要有正确的理解。当a二b取等号,a=b=>其含义是a+b"T"Ct+bf—r.=y/ab=a=b仅当"二b取等号，其含义是2综合上述两条，2b是2的充要条件。1.基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用
7、平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”屮的各项的“和”为定值则“积”有最大值。2.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和(或积)为定值；①各项能取得相等的值。1.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用吋一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;②建立相应的两数关系式，
