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1、利用基本不等式求最值授课教师：刘炳勋1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．考纲要求一.知识梳理注意：①各项皆为正数；②和为定值或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”，二“定”，三“相等”.4、利用基本不等式求最大值、最小值问题知识梳理二.典例分析题型一:拼凑法求最值典例分析典例分析典例分析典例分析思考思考思考题型二:换元法求最值典例分析思考思考例1:（1）已知且，求的最小值.（2）已知正数满足，求的最小值.题型三：常数代换法求最值典例分析例2：当时，求的最小值.典例分析正解:一正二定三相等三、错题辨析解法是否正确？注意:各项必须为正
2、阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。错题辨析正确解法“1”代换法错题辨析正解：当且仅当即:时取“=”号即此时错题辨析错题辨析例4：求函数的最小值.解法是否正确？错题辨析正解:例4：求函数的最小值.错题辨析求函数的最大值当且仅当时取得最大值四.求参数的取值范围五.实际应用实际应用实际应用六.拓展延伸拓展延伸拓展延伸拓展延伸1.(2017山东高考)若直线(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.七.高考再现2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.高考再现高考再现3.(2017天津,12,5分
3、)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.解析：∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),≥=4ab+,∴由于ab>0,∴4ab+≥2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时,的最小值为4.4.（2017·全国卷Ⅰ）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则
4、AB
5、＋
6、DE
7、的最小值为()A．16B．14C．12D．10高考再现解析：根据题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为零，抛物线C的焦点F的坐标为(1，0)，设直线l1的方程为y＝k
8、(x－1)，代入抛物线方程得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，根据抛物线定义得
9、AF
10、＝x1＋1，
11、BF
12、＝x2＋1，所以
13、AB
14、＝
15、AF
16、＋
17、BF
18、＝x1＋x2＋2＝4＋.因为l2⊥l1，所以用代替k，得
19、DE
20、＝4＋4k2，所以
21、AB
22、＋
23、DE
24、＝8＋≥8＋4×2＝16，当且仅当k＝±1时，等号成立，故所求的最小值为16.5.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.解析依题意画出图形,如图所示
25、.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即csin60°+asin60°=acsin120°,∴a+c=ac,∴+=1,∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.高考再现一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,∴==,∵DE∥CB,∴===,∴=,=.∴=+.∴=,∴1=++2··
26、
27、·
28、
29、×,∴1=,∴ac=a+c,∴+=1,∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.高考再现一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0).∵AB=c,BC
30、=a,∴A,C.∵A,D,C三点共线,∴∥,∴+c=0,∴ac=a+c,∴+=1,∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.高考再现6.（2018·全国卷Ⅰ）已知函数，则的最小值是.高考再现7.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=×6+4x=4≥240.当且仅当x=,即x=30时,等号成立.高考再现高考再现8.（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知点A
31、(0，－2)，椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解析：(1)设F(c，0)，由条件知，，得c＝.又，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为.高考再现(2)当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，，从而
32、PQ
33、＝
34、x1－x2
35、＝.又点O到直线l的距离.所以△OPQ的面积.设，则t
