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1、利用基本不等式求最值的技巧在运用基本不等式与或其变式解题时,要注意如下技巧1：配系数【例1】已知，求的最大值.【分析】按照“和定积最大”的思路，由于不是定值，所以应把配出系数成为，使得为定值.【解】由于，所以,从而，当且仅当即时，.说明:这里运用了.2:添加项【例2】已知，求的最小值.【分析】按照“积定和最小”的思路，由于不是定值，所以应把变凑成,使得为定值.【解】由于,所以,于是,当且仅当即时，.3:分拆项【例3】已知，求的最小值.【分析】按照“积定和最小”的思路，必须把分拆成两项,再配凑适当的系数,使得其积为定值.4【解】由于,所以,当且仅当即时，.4:巧用
2、”1”代换【例4】已知正数满足,求的最小值.【解】注意到,当且仅当即时，.一般地有,,其中都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.【例5】已知正数满足，求的最小值.【解】注意到,当且仅当,,即时，.5:换元【例6】已知,求的最小值.【解】设,则,都是正数,所以,当且仅当即时，4取到最小值是.说明:换元的目的是为了简单化与熟悉化,如果利用整体思想也可以不换元.【例7】已知,求的最大值.【解】设,则,,当且仅当即时，.说明:这里如果不换元,则运算不是很方便.6:利用对称性【例8】已知正数满足，求的最大值.【分析】由于条件式与结论式都是关于正
3、数轮换对称的,故最大值必然是当时取到,这时,从而得到下面证明思路与方向【解】利用基本不等式得,,,以上三式同向相加得,所以化简得,所以当且仅当时取到最大值.一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.47:直接运用化为其它【例9】已知正数满足,求的取值范围.【分析】由于条件式含有,它们都在式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.【解】利用基本不等式得,令,则得,所以,由于,所以即,故的取值范围是.4
