函数背景下双变量问题的解决策略

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1、26数学通讯——2O13年第1O期(上半月)·辅教导学·说明方法六利用／GAC一120。一FAB，能力，同时又甄别了学生的学习潜能，是一道既具两边同时取余弦，能减少求出r的运算量．解题过考知识能力又具选拔功能的好题，值得好好品味．本题解法虽多，但笔者认为大都计算繁琐，笔者期程中得到的z一+1一±~／一3分别为BB，CC所在直线方程，学生可能难于理解，美中不足．待更“常规”的简单解法．“以能力立意为指导，以考查能力和素质为导向”是数学学科高考命题的一条基本原则．本题属参考文献：于应用性质的问题，将几何图形与函数模型相结[1]竺宝林．对一道高考填空题解法的探究EJ-]．合，表述简洁，立意

2、新颖，入手易，方法多，貌似简中学数学研究(上半月)，2012(8)．单，当深入解决问题时发现对学生有着较高的思维能力和运算要求，有效地考查了学生现阶段的(收稿日期：2013—04～19)函数背景下双变量问题的解决策略周亚莉(湖北省襄阳四中，441021)函数与不等式、导数知识的综合交汇，一直是在(O，+cx3)上单调递增．高考重点考查的内容．笔者在本届高三备考中发(2)当n<一2时，△>0，g()一0的两根都现，近几年高考压轴题和各地模拟题中频频出现小于0，在(0，+。。)上f()>0，故-厂()在(O，在函数背景下处理含两个变量的等式与不等式问+c×3)上单调递增．题．这类问题由于

3、变量多，导致学生们拿到试题后(3)当口>2时，△>0，g(z)一0的两根为z无从下手，笔者在教学中发现如果以函数思想为a-~-4。+、：：：，一2‘故00；当zz。时，f()>0．故厂(z)分别在(O，)，(z：，类型1挖掘题目隐含条件，寻找双变量等式+。。)上单调递增，在(z，z：)上单调递减．关系。消元化为一元函数．(Ⅱ)由(I)知，口>2．例1(2011年湖南卷文科22题)设函数因为f(x)～f(x

4、)一(z一X2)-t一旦二-_垒一工1上2厂(z)一z一一alnx(a∈R)．＆(1nx1一lnx2)，所以，(I)讨论函数_厂(z)的单调性；二(Ⅱ)若函数厂(z)有两个极值点．27和z。，记一Z1一2过点A(x，f(x。))，B(x。，f(x。))的直线的斜率1lnx1一lnx2—1T一“’一．为．问：是否存在口，使得是===2一“?若存在，求出Z1Z2Zl～2n的值；若不存在，请说明理由．又由(I)知z一1，于是解(I)厂(z)的定义域为(0，+。。)，志一2一n．旦二．厂()一1+1～一二茔．若存在Ⅱ，使得=：：2一，~1]lnxl-inx2令g(z)一一甜+1，其判别式A—

5、n一4．371一2(1)当lal≤2时，△≤0，f(z)≥0，故_，’(z)即1nx1一lnx2一-z1一z2，亦即·辅教导学·数学通讯——2O13年第1O期(上半月)27z一去上’一2lnzz—o(z>1)①山+2+4≤o．从而n≤厶上】1=又由(I)知，函数h(￡)一t一÷一21nt在(o，曼二2≥+1=2z+1一2～，故一n～的一取、值一范围为(一。。，一2]．+。。)上单调递增，而z2>1，所以X2一一21nxZ2点评本题第(II)问利用单调性去掉绝对>l一÷一21nl一0，这与①式矛盾．值符号，分离两个变量，再构造函数利用导数处理．一般地，若两个变量分离到不等式两侧后，会故

6、不存在a，使得k一2一a．化归为两种形式：(1)形如f(x。)>g(x：)，再用两点评本题第(Ⅱ)问是函数背景下的探索侧函数各自的最值处理；(2)形如f(x。)>f(x)，性问题，充分挖掘题目隐含条件，利用韦达定理寻利用函数的单调性来处理．找双变量z，X：的等式关系，消去一个变量，再构2．2若两个变量无法分离，则合二为一。换造函数利用导数研究单调性，求出最值加以推证元后构造一元函数．矛盾．例3(武汉市2013届二月调研考试文科21类型2两个变量地位均等。相互独立．题)已知函数，()一lnx．2．1两个变量若能分离，则分离后各自构造(工)求函数g()一(sc。十1)厂(z)一2x+2相

7、应的一元函数．(z≥1)的最小值；例2(2010年辽宁卷理科21题)已知函数(Ⅱ)当0<口．(II)设a<一1．如果对任意z，z。∈(0，解析(I)由已知，g(sc)=(sc。+1)1n一2z+oo)，lf(x1)一f(x2)≥4lz1一z2I，求a的取+2(z≥1)，求导数，得值范围．．g，()一2sc1nz+兰一2解析(工)厂(z)的定义域为(O，+。。)，(