解决函数问题的策略研究

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1、解决函数问题的策略研究福建省特级教师、福建省学科教学带头人、中国数学奥林匹克高级教练余启西函数问题是高屮数学的焦点和重点，是各类考试选拔，包括高考选拔考试的重点与难点，常常是高考压轴题的主要内容之一，研究函数问题有其实际意义和应用意义。解题的“四大法宝”:1、美国教育学家，数学家波里亚的解题表：已知n新的已知(副产品)…=>新的已知o只需…只需<=只需U结论。2、数形结合，紧扣图形的几何性质。分析解决问题。3、动中求静，变中求不变利于解题。4、已知条件的特征产生灵感找出正确的解题思路与策略。例函数fM=x2-2x-k恰有两个零点，则K的取值范围是()A、［-1,4-

2、00］B、(0,+oo)u{-l}C、［(),+00)D、(-oo,-l)u{()}解：令卜I=/则/(x)=g(t)=t2-2t-kt>0要使/(X)恰有两个零点只需g(r)=o恰有一个正根故严°)<°或g(i)=()即［-"0或“_1即£〉o或“_1故选BL?d)

3、)>0；3、1咳考虑°>0且“1,尢>0即对数的底数大于0且不等于1真数大于0；4、d"(QH0)；5、实际意义；6、抽象函数y=/(x)的定义域，以/X)中()里面整体取值范围相同为过渡求的；例、y=f(2x-l)的定义域为［-1,2］求y=/(l+3x)的定义域;解：y=f(2x-l)的定义域为卜1,2］的-1

4、柯西不等式、两和、两积、两平方和、两倒数和等形式考虑均值不等式)；例、"(0,彳)求y=sinxcos2x的最大值；帝军:•/xg(0,—)/.Sinx>0,Conx>0匕曲EE427/1^Sin2x+Con2x+Con2xx183)=越y<—a/39当冃仅当2Sin2x=Con2x即tanx=-时，y=—V3g29（4）、假化整真（即分式形式分了次数不低于分母次数时）例、求/⑴=二1（兀〉o）最小值;解：/W匸也=x+->2当且仅当"丄即x=l(x>0)时/U)min=2XXX（5）、三角替换：逢平方和形式平方差形式等利用三角替换简单易解;例、求/(x)=71-x

5、2+x(-l

6、x)max=72+14(7)数形结合紧扣几何意义，利用几何性质求出值域；(8)判别式(△)法，分式函数且分子、分母最高次数为二次(分子、分母最少一个二次的)；(9)函数本身某个变量的有界性；例、求尸沁竺的值域3-sinx解：分母恒正Ay^-1所以3y-ysinx=sinx+2(y+l)・sinx=3y-2sinx=3y-2JTTJ31"［打(7)导函数法：求出极值点再利用函数的单调性结合图象求得值域!1!四性:单调性.奇偶性.周期性、对称性。1、单调性：①定义:/(^)-/(^)>()单调递增兀1—兀2②单调性可以是整个定义域也可以是定义域的某个了集，例/(X)=X

7、3在R上递增，g(x)=x2在［0,+00)上单调递增,(-8,0］上单调递减，但在R上不具备单调性；②奇函数在关于原点对称的两区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反；③复合函数的单调性：同增同减为增，一增一减或一减一增为减；④在相同的定义域条件下几个增(减)函数的和为增(减)函数；⑤勾函数f(x)=x+-伙＞0)的单调性，在(-8,一如上递增，在［厲+8)上X递增，在［-4k,+0)上递减，(0,-低_

8、上递减；2、函数的奇偶性：①定义域关于原点对称的条件下若/(-切=门力或上心=1则/(x)为偶函数，若/(-%)=-/⑴或半心=-1则/