函数背景下的不等式问题

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1、函数背景下的不等式问题长沙市十五中高三数学备课组颜志明胡超祖贺祥邹文1.考纲要求*函数（1）了解映射的概念，理解函数的概念。（2）了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

2、*不等式（1）理解不等式的性质及其证明。（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。（4）掌握简单不等式的解法。（5）理解不等式：2.函数与不等式的相依关系函数与不等式的关系实际上是等与不等的关系，等与不等的关系，既对立又统一，相互依存。如含一个未知数的不等式均可化为＞0或＜0的形式，这就是函数的函数值大于零或函数值小于零，解不等式就是求函数值对应的x的范围。对不等式的研究，可以了解函数的定义域、值域、单

3、调性、奇偶性、周期性及函数图象的形状、范围，同时不等式也是研究函数极值的重要工具，可以说离开了不等式的研究就认识不了函数。函数是高中数学的基石，高等数学的灵魂，而不等式是研究函数的工具，它们是初等数学过渡到高等数学的纽带。所以，它们自然成为高考的重点、热点，所以高考中长考不衰。3.2004～2005高考试题中解答题函数与不等式情况的横向分析3.1考题情况列表分析表Ⅰ试卷名称全国1全国2全国3全国4北京上海天津重庆湖南浙江福建江苏广东辽宁题号1922191819、2018、1921202020212

4、22118、20、22分值1214121212、1312、141212121214141212、12、14表Ⅱ试卷名称全国1全国2北京理湖南浙江文江西北（春）题号191720无201719、207分值121214121413、13表Ⅲ试卷名称考点提要04`全国1用导数法求函数的单调区间04`全国2用导数法求函数的最大值和证明不等式04`全国3有关函数与不等式的应用性问题04`全国4求连续函数在闭区间上的最大值和最小值04`北京求列车运行误差中参数的范围；有限个正数的大小比较和不等式的证明04`上海

5、函数与不等式型的应用性问题；函数的定义域和参数的取值范围04`天津三次函数的极值和切线的方程04`重庆三次函数的极值和参数的取值范围04`湖南函数的单调性与函数在闭区间上的最大值04`浙江函数切线的方程与函数的最大值04`福建分析分式函数的单调性与求不等式恒成立时参数的取值范围04`辽宁解不等式；函数最值的应用性问题；函数的导数与不等式恒成立时参数的取值范围04`江苏条件为不等式的不等式的证明04`广东函数背景下的解不等式与方程根的判定05`全国1函数的最值及参数的取值范围05`全国2函数背景下的

6、指数不等式、绝对值不等式的求解05`江西函数背景下求解含参不等式05`浙江二次函数背景下的解绝对值不等式及求参数的取值范围05`北京理抽象函数背景下的不等式证明05`北京春分式函数求极值问题3.2分析与启示①从表Ⅰ和表Ⅱ可以看出：2004年15份，2005年7份试卷共25题中，湖北04`和湖南05`没考函数与不等式的解答题，同一份试卷中多的出现3道（04`辽宁），出现2道的有04`北京、04`上海、05`北京。从题次来看，2004年18道题中排在20题后的有11道，占61%。但在2005年的7道题

7、中排在第17题的有2道，排在第19题的有2道，排在第20题的有3道，没有排在第20题后的，这说明函数情景下的不等式问题在高考中有变易的趋势。我们在应考复习中不宜搞得太难，但这个问题在高考中的命中率很高，占到了90%以上，必须引起特别注意。②从试题的题型结构上看，应用题有7道，占28%。设一问的有3道题，占12%，设三问的有4道题（都出现在全国试卷中），占16%，其余均为2问题，占72%。③从考试内容（表Ⅲ）上看，涉及单调性或最值的有10道题，占40%。求参数的取值范围的有9道题，占36%。恒成立问

8、题有2道，占8%，不等式的证明有4道，占16%。几乎每道题都涉及到了不等式的转化和解不等式，这说明教学中应特别注意解不等式的基本功的训练，几种常用证不等式的方法应巩固加强，恒成立问题的几种解题方法与解题模式要进行归纳总结，让学生对可能出现的问题对之有法，应之有策。④从涉及到的函数形式上看，最多的是以e为底的指、对函数，有8道题，二次函数有4道题，分式函数有6道题，三次函数有2道题，抽象函数有2道题，含绝对值的有3道题。这些数据表明，因为导数的加入，以前不太考的超越函数和三次函数突然