函数背景下的不等式证明

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1、函数背景下的不等式证明郑文龙（广东汕尾海丰彭湃中学516400）给出一个特定的函数，先研究其单调性、极值或恒成立等问题，以此为基础，最后证明一个不等式，我们不妨把该类问题称为函数背景下的不等式证明问题。函数与不等式相结合的综合问题在近几年的高考试题中大量出现，已经成为高考的热点题型。学生解答时颇感棘手，为此本文对此类题的解题方法略作探讨，供读者参考。一、利用函数最值构造不等式证明例1已知函数．（1）试判断函数的单调性；(2)　试证明：对，不等式恒成立．分析：观察不等式左右两边的形式，令，问题可转化为证明

2、，即证，联系到函数，实际上要证，由此求出函数的最大值，问题便可解决。解：（１）∵令，得，当时，当时，∴函数在上单调递增，在上单调递减。　（2）由（1）知当时，∴在上恒有，即当且仅当时等号成立，∴对任意的恒有令，且即所以，对，不等式恒成立．例2已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若，证明：分析：不等式左边是项和的形式，若能把与某个项和的形式联系起来，则不等式可以转化为比较项与项之间的大小关系。注意到，问题(1)暗示本题可以从最小值入手，即突破项与项之间的大小关系。解：（1），，令，得

3、．∴当时，，当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令，则，∴．即．∴∴．二、构造辅助函数证明例3（07山东理科22题）设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立．分析：观察不等式的形式，令，不等式就是，即，结合函数的形式，当时，即证，可以通过构造辅助函数，只要的最小值大于0即可。解：（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）证明：当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调

4、递增，又，时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数，取，则有．所以结论成立．三、利用恒成立构造适当不等式证明例4已知函数。（1）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：，分析：要证，即证，不等式的左边可以转化为是项和的形式，若能把与项和的形式联系起来，则不等式可以转化为比较项与项之间的大小关系。问题(1)暗示可从恒成立问题中构造出适当不等式解决项与项之间的大小比较问题。解：（1），记则令，则，在上单调递增，，从而在上也单调递增，，当时，恒成立，只须，故实数的取值范围为。（2）由（1）知

5、恒成立，即令，则，，……，叠加后，得（07福建理科22）已知函数．（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）设函数，求证：，．解：（Ⅲ）∵∴，，…………………………由此得，故，．