高数下册第十章习题详解 10.pdf

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1、习题10-11．写出下列级数的前五项:∞∞n13⋅??(2n−1)（1）∑2；（2）∑；n=1(2+n)n=124⋅??(2n)∞n−1∞(1−)n!（3）∑；（4）∑n．n=110nn=1(1n+)1234511⋅⋅313⋅⋅513⋅57⋅1⋅3⋅57⋅⋅9解：（1）+++++?；（2）+++++?；222223456722⋅⋅424⋅62⋅4⋅6⋅82⋅4⋅6⋅8⋅10111111!2!3!4!5!（3）−+−+−?；（4）+++++?.123451020304050234562．写出下列级数的一般项:23111

2、1aaa(1)+++?；(2)++++?；24615⋅⋅375⋅97⋅11235791113xxxxx(3)−+−+−+−?(4)++++?(x>0)．14916253622⋅⋅424⋅62⋅4⋅6⋅8nn−1x21an(2n+1)解：（1）u=；(2)u=；（3）u=−(1)；（4）u=.nnn2nn2n(2nn−+1)(23)n2!⋅n3．判定下列级数的敛散性:∞∞1（1）∑(1n+−n)；（2）∑；n=1n=1(2nn−1)(2+1)111π2ππn（3）++?++?；（4）sin+sin++??sin+；12

3、⋅⋅23nn(+1)666∞1111（5）∑(2nn+−2+1+n)；（6）++++?；333334n=1⎛⎞11⎛11⎞⎛11⎞（7）⎜⎟−+⎜−⎟+??+⎜−⎟+?；22nn⎝⎠32⎝32⎠⎝32⎠13572n−1（8）++++??++；35792n+1∞（9）21n+2n−1∑(a−a)（a>0）；n=11111(10)+++??++．111231n1+⎛⎞⎜⎟11++⎛⎜⎞⎟⎛⎜1+⎞⎟1⎝⎠23⎝⎠⎝n⎠∞解：（1）因为Snn=∑[(+−1n)+(n−n−1)+...(2−1)]=n+−11，n=1∞则li

4、mSn→∞，所以∑(1n+−n)发散；n→∞n=11111（2）因为a==()−，n(2nn−+1)(21)22n−12n+1n1111∞1则Snn=−∑()→(→∞)，所以∑收敛；k=122kk−+1212n=1(2nn−1)(2+1)111111（3）S=−(1)+(−)+...(−)=1−，收敛n223nn+1n+1nπ（4）由于limsin≠0，发散n→∞6（5）因为an=+22−n+1+n=n+2−n+−1(n+−1n)n11=−，nn++21+n+1+nn1111所以Sn=−∑()=−，k=1kk++21

5、+k+1+kn+2+n+12+11limS=−=1−2nn→∞21+1（6）由于limn=1，则级数发散；n→∞3（7）11n11n(1−())(1−())1111332211S=−()=−=−=−1=−limnlim32nnlim3nlim2nlim11lim2nn→∞→∞n→∞n→∞n→∞11−−n→∞232收敛21n−（8）由于lim=1，发散n→∞21n+∞21nn+−2121n+（9）∑()aa−=−a+a，所以级数收敛n=111（10）由于lim=，发散n→∞1ne(1+)n4．证明下列级数收敛，并求其和

6、：1111+++??++?．14⋅⋅477⋅10(3nn−2)(3+1)证明：由于11111111S=−[(1)+(−)+...+(−)]=−(1)n34473nn−23+133n+1则级数收敛，且其和：111limSn=lim(1−=)nn→∞→∞33n+13∞∞∞5．若级数∑un与∑vn都发散时，级数∑(un±vn)的收敛性如何？若其中一个n=1n=1n=1∞收敛，一个发散，那么，级数∑(un±vn)收敛性又如何？n=1∞∞∞∞1∞1解：当级数∑un与∑vn都发散时，级数∑(un±vn)不一定收敛：如∑与∑()−

7、n=1n=1n=1n=1nn=1n∞11都发散，而∑(−=)0+0+...收敛；n=1nn∞若其中一个收敛，一个发散，则级数∑(un±vn)发散，证明如下：n=1∞假设级数∑un发散，则存在ε0>0，对任何的自然数N，总存在自然数n=1m>N和P，有(µν++)(µ+ν)+...+(µ+ν)00mm00++11m0+2m0+2m0+P0m0+P0≥+µ...+µ≥ε，所以该级数发散。m00+1m+P00习题10-21．用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：1111（1）+++??+?;25⋅⋅364⋅7(n

8、n+1)⋅(+4)111（2）1++++?;3571111（3）+++??++;222135(2n−1)222(sin2)(sin4)(sin2n)（4）+++??+;2n666111（5）++??++(a>0);2n11++aa1+aππππ（6）sin+++sinsin??+sin+．n2482∞1111解：（1）由于<=2，且∑2收敛，故